多图预警

本文讲你肯定能懂的机器学习多维极值求解，主要讲梯度下降和牛顿法的区别应该能够完美的回答题主的问题

事先说明

本文面向学习过高等数学统计学和线性代数基础知识的本科生，并假设读者拥有基本的矩阵运算和求导运算的相关知识，类似梯度，方向导数、Hessian Matrix这些东西不懂也没关系，我会用尽可能通俗的语言说明运算中的意义。

那么从最简单的开始。

梯度下降算法

梯度是个啥？我想最开始接触梯度的各位是在方向导数那一章接触这一概念的，如果老师没怎么讲的话可能有些人还不知道梯度是个向量。当你学梯度的时候，所有的概念全都是在二元函数下的，well，也写想象力不是很丰富的同学可能不知道这是个啥。来，我们降维先。

多维条件下是曲面对函数的一阶偏导数向量，那么在一维条件下梯度会是什么的？显然就木有偏导数了，只有一个东西，当然你也可以把它写成向量的形式，就是一个导数，只不过现在变成一维的了，所以方向只有俩，向左和向右。值为正的时候向右，值为负的时候向左，值大值小不影响方向只影响距离。

在二维条件下，因为有了两个偏导数，所以这个向量能表示一圈。如果你以前看过些文章或者视频或者什么ppt之类的东西，大概你会听说一种说法：“梯度是曲面中最陡峭的方向，这个方向是下降最快的方向。”实际上这种说法是不准确的，从一维的角度来看，“梯度”其实是上升最快的方向，比如

在

处的导数是1，方向向右，这个方向函数是增长的。同样二维也是如此。只不过大部分迭代公式中在梯度的前面会加一个负号，比如这个

。所以也就直接认为它代表了下降最快的方向了。

直观上，你可以理解为，梯度就是一个和曲面等高线垂直的法线，冲着增高的那边。就像下图：

那么它相反的方向就是下降的方向啦，函数的极值点导数都是0的，也就是说，你沿着梯度方向一直走，如果最终收敛到一个点，那肯定就是一个极值点，如果不收敛，说明可能不存在极值点哈(这里因为有步长的涉及，在求解的时候会遇到明明有极值点却没有收敛的问题，后面会提到)。

举个例子，在一维下用梯度下降算法求解极值点的问题。这里我先举一个方便验算的例子，方便大家理解。

比如方程

求解极值点。当然你口算都能算出来，不要急着算结果，来理解一下梯度能干啥。

一阶导

在

的时候我们开始迭代，沿着下降最快的方向左边一点一点移动。迭代公式

这里

就是步长，用来调节每一次移动的距离，你也可能听过一些

不能过大也不能过小的看起来只能靠经验的废话。如果你是刚刚入门，可能写点程序，然后不断试，但是实际上较优的

也是可以算的，只不过那又是另一门带有好多论文的学科了。

不同的

得到不一样的迭代效果，收敛或者震荡收敛，周期震荡或者直接发散，但是有的时候，算一遍

很费劲啊！这里例子简单，要是碰到TB级的数据那真的是要死了。这还能去试？这里简单的说一下怎么设置

，首先你要确定x是收敛的。所以公式

可以写成

为了收敛，其中

，然后你就知道

了。

实际上

如果控制在

到

之间会收敛更快，因为震荡收敛总会造成一些重复计算。

二维上的梯度下降能干啥呢？

还是举一个简单的例子，这里直接连数据都是最简单的。你有两个点(4,4),(6,5)，你想画一条线使得线和两个点之间的距离平方和最小，当然你也可以口算出来，但是我们依然是为了看一下作用，直接写公式对于一些人来说真的会蒙。

设直线的方程为

目标函数

偏导数

迭代公式

同样这里可以计算一下

的范围

对于k

然后

得到

同样如果在不允许震荡的情况下

对于b

这里求得允许

并且在

区间内不会震荡，梯度计算方向在二维曲面震荡起来长啥样啊。来来来画个图。开始震荡的部分我想我得给他个特写。

不过瘾？来看这个

大致知道啥意思就行了哈。

在不震荡的情况下就显得特别简洁了。一条线走回去。

当然教科书上数学书上肯定不会这么写例子，为了公式的简洁，最后改为:

对于已知的一系列点

目标函数

其中的

就是我们上面写的

了,

则表示所有参数的集合。咦？公式多了个

是哪来的？在这里实际上这个值是多少都无所谓，因为两个偏导数都带着这个

不影响梯度方向，只影响步长，而步长又可以由

调节，我们可以理解为，加了它，导数写起来好看^_^。就像下面这样。

迭代公式

就是上面写到的

一个列向量

牛顿法

提到牛顿法的时候，你可能在小的时候听说过，一个用来迭代求零点的方法，稍微提一下。

如果你要求解

小学初中的时候你可能知道随便取一个大于0的数和一个小于0的数，然后不断地二分得到逼近于0的点，后来你可能知道这个利用了零点定理。你可以写一个同样的方程

求

时

的值。取

然后不断的试值，唔~~还是来画图吧。

你也可以看到他们的迭代过程，当然这个不叫牛顿法，这个叫二分法，比较low哈，看到没，震荡了，震荡收敛慢。

讲牛顿法的时候，你可能还要明确一个概念

和

的区别。前者是切线带来的高度差，后者是函数上的高度差，只有当

趋近于0的时候他俩才近似。而牛顿法就是用切线来快速逼近零点的，不会震荡呦，画图吧先。

看起来两步就收敛了啊，好厉害，怎么做到不震荡的呢它？

因为每一步迭代移动切线与x轴交叉点的距离

这个距离怎么算?可能你已经明白了

，这里

就是该点的一阶导数。因此迭代公式如下：

没错就是这么简单。

这里顺带一提，对于不同的方程起始点的选择也会影响迭代次数，如果有兴趣的话可以读一下这篇文章，看一下神奇的0x5f375a86，2次迭代求解，这里读两次不读二次^_^

那牛顿法和极值求解有关系？看起来牛顿法只能求零点啊? Naive~~，一阶导零点不就是函数的极值或者驻点？

算起来更简单，迭代公式如下

文章是用来解释高维极值求解的，如果你读到这里还是饶有兴致的话，那么恭喜你，你的高数肯定90+，接下来要上干货了。

对于高维函数，用牛顿法求极值也是这个形式，只不过这里的

和

都变成了矩阵和向量。而且你也可以想到，高维函数二阶导有多个，写成矩阵的形式就像这样

这个矩阵就是传说中的Hessian矩阵，不是什么拼音的简写。

同样

就变成了对所有参数的偏导数组成的向量

迭代公式

其中

为Hessian 矩阵的逆

还是以上面的例子解，对就是只有两个点求直线的那个，这次我们把目标函数的

加上

迭代公式

来看一下效果，看起来直接一步到位啊！！！所以牛顿法求解你们也应该知道多厉害了。

难道是我初始点选的就比较接近答案？换一个大一点的(100,100)，依然非常快！

这么快的原因，可能跟方程有关，换了其他方程也许就不这样了。当然你读到这里也许会迫不及待的去找些自己想分析的数据，计算些参数，如果数据量少，几百个，没问题，几万个，还撑得住，要是直接从统计局或者人口普查中进行分析的话，算一个

可能都很慢，而且数超大。

简单的解决办法，有一种叫做批迭代的方法，不管是在梯度计算极值还是在牛顿计算极值上都是可行的，就是假设失去大部分点对准确度没有太大的影响，比如说3个在一条直线上的点，去掉一个也没什么关系，最后反正还是会拟合成同一个参数。批迭代就是在众多的点中随机抽取一些，进行迭代计算，再随机抽取一些再进行迭代。迭代的路径可能不完美，但是最终还是会找到我们想要的答案。

当然还有其他更帅的解决方法，祝如DFP，BFGS，Broyden。限于篇幅，下回再讲，私信知乎账号最爱麦丽素可以得到部分计算代码。

扩展阅读

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