数论概论笔记 第3章 勾股数组与单位圆
已知单位圆方程为 x^2 + y^2 = 1。
现欲求圆上所有坐标为有理数的点。
现有一条经过点(-1, 0)的直线，其方程为 y = m × (x + 1)，m∈Q；
可得单位圆和直线的交点坐标为(-1, 0) 和 ((1 - m ^ 2) / (1 + m^2), 2m / (1 + m^2))。
因为m∈Q，所以所得的第二点的坐标为有理数。
另一方面，如得到一个有理数借(x1, y1)，则过该点与点(-1, 0)的直线斜率恒为有理数，即m∈Q。
自此，我们可以将上述结果概括为：
圆x^2 + y^2 = 1上的坐标为有理数的点都可由公式 ((1 - m ^ 2) / (1 + m^2), 2m / (1 + m^2)) 得到，其中m取有理数值（点 (-1, 0) 除外）。
如将m写为分数形式，有 m = v / u，则公式变为
(x, y) = ((u^2 - v^2) / (u^2 + v^2), 2uv / (u^2 + v^2))。
带入方程并消去分母，得：
(a, b, c) = (u^2 - v^2, 2uv, u^2 + v^2)，为一组勾股数组。
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