勾股数组【学习笔记】

本原勾股数组（简写为PPT）是一个三元组（a,b,c）,其中a,b,c没有公因数，且满足a^2 + b^2 = c^2。例如下面是一项本原勾股数组：

（3，4, 5），（5,12,13），（8,15,17），（7,24,25），（9,40,41），（11,60,61），（28,45,56），（33,56,65）。

由这个短表容易得到一些结论，例如，似乎a与b奇偶性不同且c总是奇数。

证明如下：

若a与b都是偶数，则c也是偶数，意味着a,b,c有公因数2，所以三元组不是本原的，其次，若a,b都是奇数，那么c必然是偶数，这样假设a=2x+1,b=2y+1,c=2z,代入a^2 + b^2 = c^2，化简后得2x^2 + 2x + 2y^2 + 2y + 1 = 2z，显然不成立。所以，考虑到a,b的互换性，我们得出a是奇数，b是偶数，a,b,c没有公因数。

接着观察如下，如果（a,b,c）是本原勾股数组，则可进行因数分解：

a^2 = c^2 – b^2 = (c - b) * (c + b)

下面为举例:

3^2 = 5^2 - 4^2 = (5-4)(5+4) = 1 * 9,

15^2 = 17^2 - 8^2 = (17-8)(17+8) = 9 * 25,

21^2 = 29^2 - 20^2 = (29-20)(29+20) = 9 * 49。

我们发现似乎c - b与c + b本身总是平方数，如何证明呢？

由前面观察，c – b与c + b似乎没有公因数，证明如下：

假设正整数d是c-b与c+b的公因数，则d也整除(c - b) + ( c + b) = 2c 和 (c + b) - (c - b) = 2b，但是b和c没有公因数，所以d = 1或d = 2，但是d也整除（c - b）* (c + b) = a^2，因为a是奇数，所以只能是d = 1，所以c - b与c + b没有公因数。

现在我们知道c-b与c+b无公因数并且相乘为平方数，所以c-b与c+b自身都是平方数，记：

c + b = s^2, c – b = t^2, 其中s> t≥1是没有公因数的奇数。所以解为：

b = (s^2 - t^2)/ 2,

c = (s^2 + t^2)/ 2,

a = s * t.

从而得出勾股数组定理：

每个本原勾股数组(a,b,c)(其中a为奇数，b为偶数)都可从如下公式得出：

a = s * t，b = (s^2 - t^2)/ 2, c = (s^2 + t^2)/ 2。

其中a>t≥1是任意没有公因数的奇数。

如果取t=1，则三元组（s, (s^2 - 1)/ 2, (s^2 + 1)/ 2），它的b与c值仅相差1.

今天正好做了一道有关的题：

题目链接：codeforces 707C. Pythagorean Triples

题意：给出一个数，构造勾股数。

题解：

a≤2时无解；

a为奇数时，直接用上面取t = 1的公式得b = (a^2 - 1)/ 2, c = (a^2 + 1)/ 2；

a为偶数时，当a = 4 *d时，直接可以套勾股数(3,4,5)，从而b= 3 *d, c = 5 * d，

对于其他的偶数a，可以a = a/ 2, 将a化为奇数，再直接用上面公式即可.

 1 #include<cstdio>
 2 int main(){
 3     long long a;
 4     scanf("%I64d", &a);
 5     if(a == 1 || a == 2)
 6         printf("-1\n");
 7     else if(a % 4 == 0){
 8         printf("%I64d %I64d\n", a/4*3, a/4*5);
 9     }
10     else if(a % 2 == 0){
11         a /= 2;
12         printf("%I64d %I64d\n", (a*a-1)/2*2, (a*a+1)/2*2);
13     }
14     else
15         printf("%I64d %I64d\n", (a*a-1)/2, (a*a+1)/2);
16     return 0;
17 }

转载于:https://www.cnblogs.com/GraceSkyer/p/5847338.html

勾股数组【学习笔记】相关推荐

java如何找出勾股数组_勾股数组学习笔记
题目大意是给出各条边都是正整数的直角三角形的一条边长,求另外两条边可能的一种方案. 除了爆搜脑子一片空白,然后就很没志气的看了题解,提到了勾股数组,于是学习了一下.网络上的资料感觉证明不是详细,所以自 ...
勾股数组学习笔记
颓废了一个暑假,想做点CF提高一下智商,然后就被这题卡住了. http://codeforces.com/contest/707/problem/C 题目大意是给出各条边都是正整数的直角三角形的 ...
《数论概论》读书笔记（第二章）勾股数组
本章主要讨论的是本原勾股数组,也就是关于满足a2+b2=c2a^2+b^2=c^2的三元组(a,b,c)(a,b,c),且(a,b,c)(a,b,c)互质的问题. 这章中提到一个概念:本原勾股数组(P ...
数论概论笔记（二）勾股数组
毕达哥拉斯定理(即勾股定理) a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2 显然勾股数组有无穷个,对存在的勾股数组每个数乘上一个正整数d即可得到新的勾股数组. 因此我们关注两两互质的三元组, ...
数论概论读书笔记 2.勾股数组
勾股数组本原勾股数组是一个三元组(a,b,c) 其中a,b,c没有公因数,且满足 a2+b2=c2a2+b2=c2 a^2+b^2=c^2 定理2.1 (勾股数组定理). 每个本原勾股数组(a,b, ...
matlab毕达哥拉斯质数,“毕达哥拉斯-史仲夏”常用勾股数组表
毕达哥拉斯方程:(2uv)^2+(u^2-v^2)^2=(u^2+v^2)^2 求证勾股数组的规律: 1.uv=质数:只有一组勾股数组. 2.u^2+v^2=u^2-v^2+2v^2. 只要掌握了这两 ...
URAL 2032 - Conspiracy Theory and Rebranding【本源勾股数组】
[题意] 给出三角形的三个边长,均是10^7以内的整数,问三角形的三个角的坐标是否能均是整数,输出其中任意一个解. [题解] 一开始想的是枚举一条边的横坐标,然后通过勾股定理以及算角度求出其他点的坐标 ...
三元二次方程式x2+y 2=z2的正整数解x、y、z称为一组勾股数，又称为毕达哥拉斯三元数组。该方程式也称为“商高方程”或“毕达哥拉斯方程”。试通过程序设计求指定区间[a，b]内的所有勾股数组。
/*试通过程序设计求指定区间［a,b］内的所有勾股数组. 输入输入两个正整数a, b (a<b). 输出输出［a,b］区间内的所有勾股数组. 样例输入 30, 90 样例输出*/ #defi ...
数论概论第二章勾股数组
本章主要讨论的是勾股数组,也就是关于满足a^2+b^2=c^2的三元组(a,b,c)的问题. 其实,对于勾股数组的个数进行讨论并没有多大意义,因为已知a,b,c为勾股数组,那么显然有da,db,dc( ...

勾股数组【学习笔记】

勾股数组【学习笔记】相关推荐

最新文章

热门文章