本原勾股数组

本原勾股数组（简称PPT）是一个三元组（a,b,c），其中a，b，c没有公因数，且满足

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2

下面的定理可以求它的所有解。

勾股数组定理

每个本原勾股数组都可以由以下公式得出：
a=st，b=s2−t22，c=s2+t22a=st，b=\frac{s^2-t^2}{2}，c=\frac{s^2+t^2}{2}a=st，b=2s2−t2，c=2s2+t2

其中s>t⩾1.s>t\geqslant1.s>t⩾1.

证明

证明分两部分，一是正证（推出定理），二是反证（定理反推）。

（一）正证

从公式 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2可知，a与b的奇偶性不同且c为奇数。（通过假设排除可得）

通过因式分解，我们可以得到：
a2=(c−b)(c+b)a^2=(c-b)(c+b)a2=(c−b)(c+b)

（实际列举时发现（c-b）和（c+b）都是平方数，那如何证明呢？）

首先可以证明（c-b）和（c+b）都没有公因数。

证明如下：
假设d是（c-b）和（c+b）的公因数，则
d|(c-b)+(c+b)
d|(c-b)-(c+b)
化简如下:
d|2c
d|2b
根据条件可知c和b没有公因数，所以d=1/2
又因为d|a^2  所以d=1
证毕。

其次，通过素数唯一分解定理可知

对于 a2=(c−b)(c+b)a^2=(c-b)(c+b)a2=(c−b)(c+b) 来说，只有当c−bc-bc−b 和 c+bc+bc+b 本身都是平方数时，该式才能成立。

所以可以记成：c−b=s2c-b=s^2c−b=s2 ，c+b=t2c+b=t^2c+b=t2

整理后可得：
a=st，b=s2−t22，c=s2+t22a=st，b=\frac{s^2-t^2}{2}，c=\frac{s^2+t^2}{2}a=st，b=2s2−t2，c=2s2+t2

其中s>t⩾1s>t\geqslant1s>t⩾1 且 gcd(s,t)=1gcd(s,t)=1gcd(s,t)=1

(二)反证

首先，通过代数运算可得:
(st)2+(s2−t22)2=(s2+t22)2(st)^2+(\frac{s^2-t^2}{2})^2=(\frac{s^2+t^2}{2})^2(st)2+(2s2−t2)2=(2s2+t2)2

然后还要证明(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)无公因数

通过(s,t)(s,t)(s,t)无公因数这个条件，分别用反证法证明(st,s2−t22)(st,\frac{s^2-t^2}{2})(st,2s2−t2) (st,s2+t22)(st,\frac{s^2+t^2}{2})(st,2s2+t2) (s2−t22,s2+t22)(\frac{s^2-t^2}{2},\frac{s^2+t^2}{2})(2s2−t2,2s2+t2)都没有公因数即可。
（自己写的太冗余了就不放出来了- -）

结尾

其实数论不仅有公式，还有证明。看一下还蛮有意思的，下次更新线性同余定理！

参考书目：《A Friendly Introduction to Number Theory》