实变函数(4)--Lebesgue积分

1.非负简单函数的积分

1.对于可测集E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn上的非负简单函数φ\varphiφ,若其标准表达式为φ(x)=∑i=1kciχEi(x),(x∈E=⋃i=1kEi)\varphi(x)=\sum_{i=1}^{k}c_i\chi_{E_i}(x),(x\in E = \bigcup_{i=1}^{k}E_i)φ(x)=i=1∑kciχEi(x),(x∈E=i=1⋃kEi)
其中CiC_iCi为非负实数,EiE_iEi为可测集,当i≠ji\neq ji̸=j时有Ei∩Ej=∅E_i\cap E_j=\emptysetEi∩Ej=∅,称广义实数∑i=1kcimEi\sum_{i=1}^{k}c_i mE_ii=1∑kcimEi(注意mEi=∞mE_i=\inftymEi=∞时,适用关于∞\infty∞的运算约定)为φ\varphiφ在EEE上的Lebesgue积分,记为(L)∫Eφ(x)dx(L)\int_E\varphi(x)dx(L)∫Eφ(x)dx.

2.非负简单函数积分的性质

1.0≤∫Eφ(x)dx≤∞0\leq\int_E\varphi(x)dx\leq \infty0≤∫Eφ(x)dx≤∞.
2.∫Ecφ(x)dx=c∫Eφ(x)dx(c为非负实数)\int_Ec\varphi(x)dx=c\int_{E}\varphi(x)dx(c为非负实数)∫Ecφ(x)dx=c∫Eφ(x)dx(c为非负实数).
3.∫E(φ(x)+ψ(x))dx=∫Eφ(x)dx+∫Eψ(x)dx\int_E (\varphi(x)+\psi(x))dx=\int_{E}\varphi(x)dx+\int_{E}\psi(x)dx∫E(φ(x)+ψ(x))dx=∫Eφ(x)dx+∫Eψ(x)dx.
4.若E=A∪B,A∩B=∅,A,B∈ME=A\cup B,A\cap B=\emptyset,A,B\in ME=A∪B,A∩B=∅,A,B∈M ,则∫Eφ(x)dx=∫Aφ(x)dx+∫Bφ(x)dx\int_{E}\varphi(x)dx=\int_{A}\varphi(x)dx+\int_{B}\varphi(x)dx∫Eφ(x)dx=∫Aφ(x)dx+∫Bφ(x)dx
5.若φ(x)≤ψ(x)(x∈E)\varphi(x)\leq \psi(x)(x \in E)φ(x)≤ψ(x)(x∈E),则∫Eφ(x)dx≤∫Eψ(x)dx\int_E\varphi(x)dx\leq\int_{E}\psi(x)dx∫Eφ(x)dx≤∫Eψ(x)dx.

3.非负可测函数的积分

1.设fff是可测集E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn上的非负可测函数,{φk\varphi_kφk}是收敛于fff的非负简单函数的(对kkk的)递增列,即每个φk\varphi_kφk是EEE上的简单函数,且0≤φ1(x)≤φ2(x)≤...≤φk(x)≤φk+1(x)≤...(≤f(x)),0\leq \varphi_1(x)\leq\varphi_2(x)\leq...\leq\varphi_k(x)\leq\varphi_{k+1}(x)\leq...(\leq f(x)),0≤φ1(x)≤φ2(x)≤...≤φk(x)≤φk+1(x)≤...(≤f(x)),lim⁡k→∞φk(x)=f(x),(x∈E),\lim_{k \to \infty}\varphi_k(x)=f(x),(x\in E),k→∞limφk(x)=f(x),(x∈E),则称极限lim⁡k→∞∫Ef(x)dx\lim_{k \to \infty }\int_Ef(x)dxk→∞lim∫Ef(x)dx(有限实数或+∞+\infty+∞)为函数fff在EEE上的Lebesgue积分,记为∫Ef(x)dx\int_Ef(x)dx∫Ef(x)dx(或在积分号前加(L)(L)(L)).
2.设φ\varphiφ和所有ψk(k=1,2,....)\psi_k(k=1,2,....)ψk(k=1,2,....)都是可测集E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn上的非负简单函数,并且当x∈Ex\in Ex∈E时,ψk(x)≤ψk+1(k=1,2,...),\psi_k(x)\leq\psi_{k+1}(k=1,2,...),ψk(x)≤ψk+1(k=1,2,...),且φ(x)≤lim⁡k→∞ψk(x),\varphi(x)\leq\lim_{k \to \infty}\psi_k(x),φ(x)≤k→∞limψk(x),则有∫Eφ(x)dx≤lim⁡k→∞∫Eψk(x)dx\int_E\varphi (x)dx\leq\lim_{k \to \infty}\int_E\psi_k(x)dx∫Eφ(x)dx≤k→∞lim∫Eψk(x)dx

4.非负可测函数积分的性质

1.0≤∫Ef(x)dx≤∞0\leq\int_Ef(x)dx\leq \infty0≤∫Ef(x)dx≤∞.
2.∫Ecf(x)dx=c∫Ef(x)dx(c为非负实数)\int_Ecf(x)dx=c\int_{E}f(x)dx(c为非负实数)∫Ecf(x)dx=c∫Ef(x)dx(c为非负实数).
3.∫E(f(x)+g(x))dx=∫Ef(x)dx+∫Eg(x)dx\int_E (f(x)+g(x))dx=\int_{E}f(x)dx+\int_{E}g(x)dx∫E(f(x)+g(x))dx=∫Ef(x)dx+∫Eg(x)dx.
4.若E=E1∪E2,E1∩E2=∅,E1,E2可测E=E_1\cup E_2,E_1\cap E_2=\emptyset,E_1,E_2可测E=E1∪E2,E1∩E2=∅,E1,E2可测 ,则∫Ef(x)dx=∫E1f(x)dx+∫E2f(x)dx\int_{E}f(x)dx=\int_{E_1}f(x)dx+\int_{E_2}f(x)dx∫Ef(x)dx=∫E1f(x)dx+∫E2f(x)dx
5.若0≤f(x)≤g(x)(x∈E)0\leq f(x)\leq g(x)(x \in E)0≤f(x)≤g(x)(x∈E),则∫Ef(x)dx≤∫Eg(x)dx\int_Ef(x)dx\leq\int_{E}g(x)dx∫Ef(x)dx≤∫Eg(x)dx.

5.切比雪夫不等式

1.若0≤A≤f(x)≤B,(x∈E,A,B为常数)0\leq A\leq f(x)\leq B,(x\in E,A,B为常数)0≤A≤f(x)≤B,(x∈E,A,B为常数),则AmE≤∫Ef(x)≤BmEAmE\leq \int_{E}f(x)\leq BmEAmE≤∫Ef(x)≤BmE
2.若aaa为正的常数,则mE(f≥a)≤1/a∫Ef(x)dxmE(f\geq a)\leq1/a \int_Ef(x)dxmE(f≥a)≤1/a∫Ef(x)dx此式通常称为切比雪夫不等式.

6.∫Efdx\int_E fdx∫Efdx=0的充分必要条件

1.∫Ef(x)dx\int_E f(x)dx∫Ef(x)dx=0的充分必要条件是f(x)f(x)f(x)在E上几乎处处等于0,即fff~0与EEE.
2.若∫Ef(x)dx≤∞\int_E f(x)dx\leq \infty∫Ef(x)dx≤∞,则f(x)f(x)f(x)在E上几乎处处有限.

7.f∈L(E)f\in L(E)f∈L(E)的充分必要条件

1.设f(x)f(x)f(x)是在EEE上几乎处处有限的非负可测函数,m(E)<+∞m(E)<+ \inftym(E)<+∞,对[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)作如下分法:0=y0<y1<y2<...yk<yk+1<...,0=y_0<y_1<y_2<...y_k<y_{k+1}<...,0=y0<y1<y2<...yk<yk+1<...,其中yk+1−yk<δ(k=0,1...)y_{k+1}-y_k<\delta(k=0,1...)yk+1−yk<δ(k=0,1...).令Ek={x∈E∣yk≤f(x)<yk+1},E_k=\lbrace x\in E |y_k\leq f(x)<y_{k+1}\rbrace,Ek={x∈E∣yk≤f(x)<yk+1},则f∈L(E)f\in L(E)f∈L(E)(积分值为有限)的充分必要条件是∑k=0∞ykm(Ek)<+∞\sum_{k=0}^{\infty}y_km(E_k)<+\inftyk=0∑∞ykm(Ek)<+∞,并且∫Ef(x)dx=lim⁡δ→∞∑k=0∞ykm(Ek)\int_{E}f(x)dx=\lim_{\delta \to \infty} \sum_{k=0}^{\infty}y_km(E_k)∫Ef(x)dx=δ→∞limk=0∑∞ykm(Ek)

8.一般可测函数的积分

1.设fff是定义于E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn上的可测函数,若fff的正部f+f^+f+与负部f−f^-f−在EEE上的积分不同时为∞\infty∞,则定义fff在EEE上的Lebesgue积分为∫Ef(x)dx=∫Ef+(x)dx−∫f−(x)dx.\int_{E}f(x)dx=\int_{E}f^+(x)dx-\int f^-(x)dx.∫Ef(x)dx=∫Ef+(x)dx−∫f−(x)dx.若这个积分取有限值(以后简称L可积或可积).在EEE上可积函数全体(集合)记为L(E)L(E)L(E),或简记为LLL.

9.可测函数可积的充要条件

1.可测函数fff在E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn上可积的充分必要条件是,它的绝对值函数∣f∣|f|∣f∣在EEE上可积.

10.控制函数

1.设fff在E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn上可测,若存在非负函数F∈L(E)F\in L(E)F∈L(E),使得∣f(x)∣≤F(x)|f(x)|\leq F(x)∣f(x)∣≤F(x)(这时称FFF为fff的控制函数),则f∈L(E)f\in L(E)f∈L(E).

11.可测函数积分的性质

1.若f∈L(E)f\in L(E)f∈L(E),则∣f(x)∣<∞a.e.于E.|f(x)|<\infty a.e.于E.∣f(x)∣<∞a.e.于E.
2.若fff是零测集EEE上的任意广义实值函数,则∫Ef(x)dx=0\int_E f(x)dx=0∫Ef(x)dx=0,从而f∈L(E)f\in L(E)f∈L(E)
3.若fff和ggg都是E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn上的可测函数,且fff~ggg于E,则fff与ggg在E上同时可积,或者同时不可积,并且在积时,他们的积分值相等.
4.若f∈L(E),g∈L(E),a,b是常数f\in L(E),g\in L(E),a,b是常数f∈L(E),g∈L(E),a,b是常数,则af+bg∈L(E)af+bg\in L(E)af+bg∈L(E)且∫E(af(x)+bg(x))dx=a∫Ef(x)dx+b∫Eg(x)xdx\int_{E}(af(x)+bg(x))dx=a\int_{E}f(x)dx+b\int_{E}g(x)xdx∫E(af(x)+bg(x))dx=a∫Ef(x)dx+b∫Eg(x)xdx
5.若有f∈L(E1),f∈L(E2),且E1∩E2=∅,则f∈L(E1∪E2)f\in L(E_1),f\in L(E_2),且E_1\cap E_2=\emptyset,则f\in L(E_1\cup E_2)f∈L(E1),f∈L(E2),且E1∩E2=∅,则f∈L(E1∪E2)且∫E1∪E2f(x)dx=∫E1f(x)dx+∫E2f(x)dx\int_{E_1\cup E_2}f(x)dx=\int_{E_1}f(x)dx+\int_{E_2}f(x)dx∫E1∪E2f(x)dx=∫E1f(x)dx+∫E2f(x)dx
6.f∈L(E),E0⊂E,E0f\in L(E),E_0\subset E,E_0f∈L(E),E0⊂E,E0可测,则f∈L(E0)f\in L(E_0)f∈L(E0)且∫E\E0f(x)dx=∫Ef(x)dx−∫E0f(x)dx\int_{E \backslash E_0}f(x)dx=\int_{E}f(x)dx-\int_{E_0}f(x)dx∫E\E0f(x)dx=∫Ef(x)dx−∫E0f(x)dx
7.设f∈L(E),g∈L(E)f\in L(E),g\in L(E)f∈L(E),g∈L(E).若f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x)f(x)≤g(x)a.e.于EEE,则∫Ef(x)dx≤∫Eg(x)dx\int_Ef(x)dx\leq \int_Eg(x)dx∫Ef(x)dx≤∫Eg(x)dx
8.若f∈L(E)f\in L(E)f∈L(E),则∣∫Ef(x)dx∣≤∫E∣f(x)∣dx|\int_Ef(x)dx|\leq \int_E|f(x)|dx∣∫Ef(x)dx∣≤∫E∣f(x)∣dx

12.积分的绝对连续性

设f∈L(E)f\in L(E)f∈L(E),则对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0,存在δ>0\delta>0δ>0,使得对EEE的任意可测子集E0E_0E0,只要满足mE0<δmE_0<\deltamE0<δ,就有∫E0∣f(x)∣dx<ε\int_{E0}|f(x)|dx<\varepsilon∫E0∣f(x)∣dx<ε.

13.列维(Levi)定理(单调收敛定理)

设{fkf_kfk}是E上的非负可测函数的递增列,记f(x)=lim⁡k→∞fk(x)(x∈E),f(x)=\lim_{k\to \infty}f_k(x)(x\in E),f(x)=k→∞limfk(x)(x∈E),则∫Ef(x)dx=lim⁡k→∞∫Efk(x)dx.\int_Ef(x)dx=\lim_{k \to \infty}\int_Ef_k(x)dx.∫Ef(x)dx=k→∞lim∫Efk(x)dx.

14.Lebesgue逐项积分定理

设{fkf_kfk}是E上的非负可测函数列.令f(x)=∑k=1∞fk(x)(x∈E),f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)(x\in E),f(x)=k=1∑∞fk(x)(x∈E),则∑k=1∞fk(x)dx\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)dx∑k=1∞fk(x)dx逐项可积分,即∫Ef(x)dx=∫E∑k=1∞fk(x)dx.\int_Ef(x)dx=\int_E \sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)dx.∫Ef(x)dx=∫Ek=1∑∞fk(x)dx.

15.法图(Fatou)引理

设{fkf_kfk}是E上的非负可测函数列,则…

16.Lebesgue控制收敛定理

设{fkf_kfk}是E∈RnE\in R^nE∈Rn上几乎处处收敛的可测函数列,lim⁡k→∞fk(x)=f(x).\lim_{k \to \infty}f_k(x)=f(x).limk→∞fk(x)=f(x).若存在非负函数FFF,使得F∈L(F)F\in L(F)F∈L(F)并且∣fk(x)∣≤F(x)(x∈E,k=1,2...)|f_k(x)|\leq F(x) (x\in E,k=1,2...)∣fk(x)∣≤F(x)(x∈E,k=1,2...),则函数fff及所有的fkf_kfk都在E上可积,且lim⁡k→∞fk(x)dx存在并等于∫Ef(x)dx.\lim_{k\to \infty}f_k(x)dx存在并等于\int_Ef(x)dx.k→∞limfk(x)dx存在并等于∫Ef(x)dx.

17.有界收敛定理

若mE<∞mE<\inftymE<∞,{fkf_kfk}是在EEE上几乎处处收敛的可测函数列,lim⁡k→∞fk(x)=f(x)(a.e.x∈E),\lim_{k\to \infty}f_k(x)=f(x)(a.e. x\in E),k→∞limfk(x)=f(x)(a.e.x∈E),并且存在着常数M>0M>0M>0,使得∣fk(x)<M∣(x∈E,k=1,2,....),|f_k(x)<M|(x\in E,k=1,2,....),∣fk(x)<M∣(x∈E,k=1,2,....),则lim⁡k→∞∫Efk(x)dx=∫Ef(x)dx.\lim_{k \to \infty}\int_Ef_k(x)dx=\int_Ef(x)dx.k→∞lim∫Efk(x)dx=∫Ef(x)dx.

18.勒贝格积分与黎曼积分的比较

1.若函数fff在[a,b][a,b][a,b]上(R)(R)(R)可积,则f∈L(a,b),并且f \in L(a,b),并且f∈L(a,b),并且,(R)∫abf(x)dx=(L)∫abf(x)dx.(R)\int_{a}^{b}f(x)dx=(L)\int_a^b f(x)dx.(R)∫abf(x)dx=(L)∫abf(x)dx.
2.设函数f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]有界,则f在[a,b][a,b][a,b]上RiemannRiemannRiemann可积的充分必要条件是,fff在[a,b][a,b][a,b]上的间断点组成零测集.
3.若定义在RRR上的函数fff在任何有限区间上有界,且它在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)上的反常RiemannRiemannRiemann积分绝对收敛(蕴含fff在任何有限区间RRR可积),则f∈L(−∞,+∞)f\in L(-\infty,+\infty)f∈L(−∞,+∞)并且(L)∫−∞+∞f(x)dx=(R)∫−∞+∞f(x)dx(L)\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=(R)\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx(L)∫−∞+∞f(x)dx=(R)∫−∞+∞f(x)dx