待分析命题

设E⊂RnE\subset {{\mathbb{R}}^{n}}E⊂Rn是一个零测集，φ\varphiφ是EEE上的一个非负简单函数，则
φ∈L(E)且∫Eφ(x)dx=0.\varphi \in L\left( E \right) 且 \int_{E}{\varphi \left( x \right)dx}=0.φ∈L(E)且∫Eφ(x)dx=0.

证明过程

根据课本P60的定义3.2，我们设非负简单函数φ\varphiφ的标准表示式为
φ(x)=∑i=1kciχEi(x),x∈E=⋃i=1kEi,(*)\varphi \left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{c}_{i}}{{\chi }_{{{E}_{i}}}}\left( x \right)},\text{ }x\in E=\bigcup\limits_{i=1}^{k}{{{E}_{i}}}, \tag{*}φ(x)=i=1∑kciχEi(x), x∈E=i=1⋃kEi,(*)
其中ci{{c}_{i}}ci为非负实数，各个Ei{{E}_{i}}Ei均为可测集，且当i≠ji\ne ji=j时有Ei∩Ej=∅{{E}_{i}}\cap {{E}_{j}}=\varnothingEi∩Ej=∅。

根据课本P83的定义4.1，φ\varphiφ在EEE上的Lebesgue积分为
(L)∫Eφ(x)dx=∑i=1kcim(Ei).(1)\left( L \right)\int_{E}{\varphi \left( x \right)dx}=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{c}_{i}}m\left( {{E}_{i}} \right)}. \tag{1}(L)∫Eφ(x)dx=i=1∑kcim(Ei).(1)
∀i\forall i∀i，由于Ei⊂⋃j=1kEj=E{{E}_{i}}\subset \bigcup\limits_{j=1}^{k}{{{E}_{j}}}=EEi⊂j=1⋃kEj=E，而EEE是零测集，根据课本P44的“零测集的子集还是零测集”和课本P48的例5：“零测集是测度为0的可测集”，我们得到
m(Ei)=0,∀i.(2)m\left( {{E}_{i}} \right)=0,\text{ }\forall i. \tag{2}m(Ei)=0, ∀i.(2)
由式（1）和式（2），即有
(L)∫Eφ(x)dx=0，也就有φ∈L(E).\left( L \right)\int_{E}{\varphi \left( x \right)dx}=0，也就有\varphi \in L\left( E \right).(L)∫Eφ(x)dx=0，也就有φ∈L(E).

一点注记

φ\varphiφ的标准分解式(∗)\left( * \right)(∗)中允许有ci=+∞{{c}_{i}}=+\inftyci=+∞。事实上，由课本P59关于000与±∞\pm \infty±∞乘积的规定：
±∞×0=0,\pm \infty \times 0=0,±∞×0=0,
可知当出现ci=+∞{{c}_{i}}=+\inftyci=+∞的情况时，对上述分析过程不会造成影响。

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