特征值

特征值及一些基本概念

特征值：设A为n阶方阵，λ为变量，把∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0∣λE−A∣=0的根称为A的特征值（又称为特征根），其中单根称为单特征根；重根称为重特征根

对角矩阵和三角形矩阵的特征值就是他们的对角元

特别地，实方阵的特征值不一定都是实数，也可能是复数

特征向量：设λi\lambda_iλi是A的特征值，则齐次线性方程组(λiE−A)x=0(\lambda_i E-A)x=0(λiE−A)x=0的非零解向量称为A的对应于（或属于）λi\lambda_iλi的特征向量

特征方程：∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0∣λE−A∣=0称为A的特征方程

求A的特征向量步骤：

写出A的特征方程并求A的特征根
将特征根带入特征方程，求其通解
减去通解中的零向量，剩下的就是A的特征向量

迹：n阶方阵A的n个对角元之和，记作tr(A)

特征多项式：特征方程的左半部分∣λE−A∣|\lambda E-A|∣λE−A∣称为矩阵A的特征多项式，令其等于0即可得到特征方程

特征向量的性质

n阶方阵A在复数域中有且只有n个特征值（k重特征值看作k个）
若n阶方阵A的特征值为λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn，则：
1. λ1+λ2+⋯+λn=tr(A)\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=tr(A)λ1+λ2+⋯+λn=tr(A)
2. λ1λ2⋯λn=∣A∣\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|A|λ1λ2⋯λn=∣A∣
方阵A可逆 ⇔\Leftrightarrow⇔ A的特征值都不为0，且∣A∣≠0|A|\neq0∣A∣=0
设A为n阶方阵，有

λ\lambdaλ是A的特征值且p是λ\lambdaλ对应的特征向量 ⇔\Leftrightarrow⇔ 数λ\lambdaλ和n元非零向量p满足Ap=λpAp=\lambda pAp=λp

表明：λ和A在“特征”方面呈现出等价的特性

该特性可用于定义方阵的特征值及其特征向量

若λ是方阵A的特征值，p是对应的特征向量，k是正整数，则λk\lambda^kλk是AkA^kAk的特征值，p仍是对应的特征向量

有Akp=λkpA^k p=\lambda^k pAkp=λkp

若λ是可逆矩阵A的特征值，p是对应的特征向量，则λ−1\lambda^{-1}λ−1和∣A∣λ−1|A|\lambda^{-1}∣A∣λ−1分别是A−1A^{-1}A−1和A∗A^*A∗的特征值，p仍是对应的特征向量

除了以上结论，还有

(λ+1)(\lambda +1)(λ+1)是(A+E)(A+E)(A+E)的特征值

EEE的特征值为1

EnE_nEn有n重特征值是1

推广得：

方阵满足某个矩阵方程F(A)=0F(A)=0F(A)=0，则A的特征值只能是这个矩阵方程对应解的特征根之中的值

即若λ是A的特征值，p是λ对应的特征向量，则F(λ)=kmλm+⋯+k1λ+k0F(\lambda)=k_m \lambda^m +\cdots+k_1 \lambda +k_0F(λ)=kmλm+⋯+k1λ+k0是F(A)=kmAm+⋯+k1A+k0EF(A)=k_m A^m+\cdots+k_1A+k_0EF(A)=kmAm+⋯+k1A+k0E的特征值，p仍是其对应的特征向量
方阵A与A^T的特征值相同
若λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn是方阵A的互异特征值，它们分别对应的特征向量p1,p2,⋯,pnp_1,p_2,\cdots,p_np1,p2,⋯,pn一定线性无关

互异特征根对应的特征向量线性无关
设λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn是方阵A的互异特征根，pi1,pi2,⋯,pirip_{i1},p_{i2},\cdots,p_{ir_i}pi1,pi2,⋯,piri是λi(i=1,2,⋯,m)\lambda_i(i=1,2,\cdots,m)λi(i=1,2,⋯,m)对应的线性无关的特征向量，则p11,p12,⋯,p1ri,⋯,pm1,pm2,⋯,pmrmp_{11},p_{12},\cdots ,p_{1r_i},\cdots,p_{m1},p_{m2},\cdots,p_{mr_m}p11,p12,⋯,p1ri,⋯,pm1,pm2,⋯,pmrm线性无关

对于一般的向量组，如果各部分都线性无关，则合并起来不一定线性无关，这里的线性无关是特征向量独有的性质

相似矩阵

相似：设A、B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B，则称A与B相似，P−1APP^{-1}APP−1AP称为对A进行相似变换，P称为相似变换矩阵。如果相似变换矩阵P是正交矩阵，则称A与B正交相似，对应地相似变换称为正交相似变换

与等价矩阵的区别：

两个相似矩阵一定等价；但两个等价矩阵不一定相似
相似矩阵必须是方阵，但等价矩阵不一定都是方阵

相似矩阵具有以下性质：

若A与B相似，则A^k与B^k相似（k为正整数）
若A与B相似，则A与B的特征多项式、特征值、行列式与迹均相同

相似对角化

对角矩阵主对角线之外的元素皆为0的矩阵

用diag(a,b,c,…,n)表示，其中a,b,c,…,n都是对角线上的值

如果矩阵A能与对角矩阵相似，则称A可相似对角化，当A可相似对角化时，与A相似的对角矩阵叫做A的相似标准型

基本特征：如果A相似于对角矩阵，那么这个对角矩阵的所有对角元为A的全部特征值；不是所有方阵都能相似对角化

相似对角化的判定条件：

n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

用来把A相似对角化的相似变换矩阵P是以A的n个线性无关的特征向量为列构成的矩阵，所化为的对角矩阵B的对角元恰为A的n个特征值，并且特征值在B中的排列与特征向量在P中的排列次序相对应

求解时要注意一定要化成行最简矩阵在设自由未知量，P的构造是不唯一的

方阵A的每个特征值所对应的线性无关特征向量的个数一定小于或等于它的重数
若n阶方阵A的特征值都是单特征值，则A可相似对角化
n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A的每个特征值所对应的线性无关特征向量的个数恰好等于其重数
n阶方阵A可相似对角化的充要条件是每个特征值λ_i都满足r(λiE−A)=n−nir(\lambda_i E-A)=n-n_ir(λiE−A)=n−ni，其中n_i为λ_i的重数

讨论方阵A是否可以相似对角化时，但特征值不需讨论
实对称矩阵都可以相似对角化，并且可以用正交相似变换将其相似对角化

共轭矩阵

把复矩阵A=[aij]m×nA=[a_{ij}]_{m \times n}A=[aij]m×n中的每个元素用其共轭复数代替所得矩阵叫做A的共轭矩阵，记作A‾=[a‾ij]m×n\overline{A}=[\overline{a}_{ij}]_{m \times n}A=[aij]m×n

显然，A为实矩阵 <=> A‾=A\overline{A}=AA=A

共轭矩阵具有如下性质：

可逆律：A‾‾=A\overline{\overline{A}}=AA=A
分配律：A+B‾=A‾+B‾\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}A+B=A+B
结合律：AB‾=A‾⋅B‾\overline{AB}=\overline{A} \cdot \overline{B}AB=A⋅B
kA‾=k‾⋅A‾\overline{kA}=\overline{k} \cdot \overline{A}kA=k⋅A
AT‾=A‾T\overline{A^T}=\overline{A}^TAT=AT
x与x共轭的内积一定不小于0：x‾Tx≥0\overline{x}^T x \ge 0xTx≥0，当x≠0x\neq0x=0时，x‾Tx>0\overline{x}^T x \gt 0xTx>0

补充：内积(x‾,x)(\overline{x},x)(x,x)可以用x‾Tx\overline{x}^T xxTx表示

特别地，若λ‾P‾TP=λP‾TP\overline{\lambda}\overline{P}^TP=\lambda\overline{P}^TPλPTP=λPTP，则λ‾=λ\overline{\lambda}=\lambdaλ=λ

实对称矩阵的性质

对称矩阵：AT=AA^T=AAT=A

反称矩阵：AT=−AA^T=-AAT=−A

实对称矩阵A的特征值都是实数

A=AT=A‾T=AT‾A=A^T=\overline{A}^T=\overline{A^T}A=AT=AT=AT
若λi\lambda_iλi是实对称矩阵A的特征值，则λi\lambda_iλi为实数，λiE−A\lambda_i E-AλiE−A为实矩阵，(λiE−A)x=0(\lambda_i E-A)x=0(λiE−A)x=0的基础解系，即λi\lambda_iλi对应的特征向量可取为实向量
实对称矩阵A的相异特征值λ和μ分别对应的特征向量p和q一定正交
实对称矩阵都可以相似对角化，并且可以用正交相似变换将其相似对角化
对于任意n阶实对称矩阵A，都存在正交矩阵Q，使得Q−1AQ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)Q^{-1}AQ=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)Q−1AQ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)，其中i=1,2,⋯,ni=1,2,\cdots,ni=1,2,⋯,n是A的特征值

特别注意：这条性质是线性代数的核心性质之一
实对称矩阵的每个特征值所对应的线性无关特征向量的个数恰好等于其重数
两个同阶的实对称矩阵相似的充要条件是它们具有相同的特征值

特征值反映了矩阵在“不变性”方面的核心性质
实对称矩阵A的非零特征值的个数等于其秩r(A)
将实对称矩阵的k(k>=2)重特征根λ_i对应的k个线性无关的特征向量正交化后得到的k个向量还是λ_i对应的特征向量，因为二者等价

实对称矩阵的相似对角化特性

实对称矩阵都可以相似对角化，并且可以用正交相似变换将其相似对角化

一般的实方阵不具有实对称矩阵这样的性质，只能保证特征向量线性无关，需要使用施密特正交化来获得正交的特征向量

这是实对称矩阵独有的性质

若A不是实对称矩阵，不能使用正交相似变换将A化为对角矩阵

正交相似变换矩阵的求法

实对称矩阵A的特征值都是单特征值时
1. 求出每个特征值对应的方程组(λiE−A)x=0(\lambda_i E-A)x=0(λiE−A)x=0的基础解系（λ_i对应线性无关的特征向量）
2. 将它们单位化，得到A的两两正交的单位特征向量
3. 将这些特征向量作为Q的列向量
4. Q就是所求的正交相似变换矩阵
实对称矩阵A有重特征值时
1. 求出A的全部特征值
2. 分别求出不同特征值对应的方程组(λiE−A)x=0(\lambda_i E-A)x=0(λiE−A)x=0的基础解系（λ_i对应线性无关的特征向量）
3. 将它们正交化
  
  注意正交化是对各个特征值λi\lambda_iλi所对应的线性无关的特征向量分别进行的
4. 将正交化的基础解系单位化
5. 将得到的特征向量作为Q的列向量
6. Q就是所求的正交相似变换矩阵

相似对角化特征向量的组合问题

若方阵A可相似对角化，有特征值λ1=λ2≠λ3\lambda_1=\lambda_2\neq\lambda_3λ1=λ2=λ3

对应特征向量P=[P1,P2,P3][P_1,P_2,P_3][P1,P2,P3]

可对A进行相似对角化：P−1AP=diag(λ)P^{-1}AP=diag(\lambda)P−1AP=diag(λ)的情况如下：

若P′=[P1,P1+P2,P3]P'=[P_1,P_1+P_2,P_3]P′=[P1,P1+P2,P3]，P−1AP=diag(λ)P^{-1}AP=diag(\lambda)P−1AP=diag(λ)成立
若P′′=[P1,P2+P3,P3]P''=[P_1,P_2+P_3,P_3]P′′=[P1,P2+P3,P3]，不再有P−1AP=diag(λ)P^{-1}AP=diag(\lambda)P−1AP=diag(λ)
若P′′′=[k1P1+k2P2,k3P2+k4P1,k5P3]P'''=[k_1 P_1+k_2P_2,k_3P_2+k_4P_1,k_5P_3]P′′′=[k1P1+k2P2,k3P2+k4P1,k5P3]，P−1AP=diag(λ)P^{-1}AP=diag(\lambda)P−1AP=diag(λ)一直成立

重点在于相似变换矩阵P中的组成列向量之间不能线性相关

特征值和相似对角化的深入理解

特征值

特征值的另一种定义：A是n阶矩阵，λ是一个数，若存在n维非零列向量ξ，使得Aξ=λξ，则称λ是A的特征值，ξ是A的对应于特征值λ的特征向量

由这个定义可以反推出特征方程|λE-A|=0，它的根就是特征值，也称为特征根，λE-A称为特征矩阵，|λE-A|称为特征多项式

特征值具有以下性质：

∑i=1nλi=∑i=1naii\sum_{i=1}^n \lambda_i=\sum_{i=1}^n a_{ii}∑i=1nλi=∑i=1naii
Πi=1nλi=∣A∣\Pi_{i=1}^n \lambda_i=|A|Πi=1nλi=∣A∣
k重特征值至多有k个对应的线性无关的特征向量
两个属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于同一特征值的特征向量
两个属于不同特征值的特征向量之间线性无关
对角矩阵、上下三角形矩阵的特征值就是对角线元素

求特征值的方法

通过特征方程∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0∣λE−A∣=0
通过Aξ=λξA\xi =\lambda \xiAξ=λξ

相似矩阵

若存在n阶可逆矩阵P，使得n阶方阵A、B满足P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B，则称A与B相似

矩阵相似 ⇒\Rightarrow⇒ 矩阵等价

反之不一定成立

相似矩阵的性质

若A和B矩阵相似，则有以下结论：

二者等秩 r(A)=r(B)r(A)=r(B)r(A)=r(B)
二者等行列式 ∣A∣=∣B∣|A|=|B|∣A∣=∣B∣
二者等特征值
∣λE−A∣=∣λE−B∣|\lambda E-A|=|\lambda E-B|∣λE−A∣=∣λE−B∣
AmA^mAm与BmB^mBm相似，f(A)f(A)f(A)与f(B)f(B)f(B)相似（其中f(x)为多项式）
若有A可逆，则A−1A^{-1}A−1与B−1B^{-1}B−1相似，f(A−1)f(A^{-1})f(A−1)与f(B−1)f(B^{-1})f(B−1)相似（其中f(x)为多项式）

以上结论反之不成立

特别地，有

A₁与B₁相似，A₂与B₂相似，则有A1A2A_1A_2A1A2与B1B2B_1B_2B1B2相似
P−1(k1A1+k2A2)P=k1P−1A1P+k2P−1A2PP^{-1}(k_1 A_1 + k_2 A_2)P=k_1 P^{-1}A_1 P+k_2 P^{-1}A_2 PP−1(k1A1+k2A2)P=k1P−1A1P+k2P−1A2P

可相似对角化的条件

相似对角化：若存在可逆矩阵P，使得P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ（Lambda），其中Λ\LambdaΛ是对角矩阵，则称A可相似对角化，Λ\LambdaΛ是A的相似标准型

n阶矩阵A可相似对角化的充要条件（满足一条即可）：

A有n个线性无关的特征向量
A的每个k重特征值都有k个线性无关的对应特征向量

如果n阶矩阵A有n个不同的特征值，对应A有n个线性无关的特征向量，则A可相似对角化

核心结论：实对称矩阵必可相似对角化

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交

根据以上结论，可以推知n阶实对称矩阵的性质：

必相似于对角矩阵
必有n个线性无关的特征向量
必正交相似于Λ\LambdaΛ

这个结论可以通过“必有可逆矩阵P，使得P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ”和“必存在正交矩阵Q，使得Q−1AQ=QTAQ=ΛQ^{-1}AQ=Q^TAQ=\LambdaQ−1AQ=QTAQ=Λ”来获得
必合同于对角矩阵

这个结论可通过上面的结论推知

判别矩阵是否可相似对角化的基本方法

检查是否为实对称矩阵，若是则相似
检查特征值是否为实单根，若是则相似
检查特征根是否是k重根且对应有k个线性无关的特征向量，若是则相似

必可相似对角化的矩阵

实对称矩阵
n个特征值互异的n阶矩阵
有n个线性无关特征向量的n阶矩阵
每个r重特征值都对应有r个线性无关特征向量的矩阵

典型问题：求使P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ的可逆矩阵P

若题式成立，则要求其中对角矩阵Λ\LambdaΛ的对角元都是A的特征值，而P就是A的n个线性无关的特征向量，且特征向量ξi\xi_iξi对应特征值λi\lambda_iλi

这个问题就变成了求A的特征根和特征向量，然后把特征向量带入一个和A等阶的矩阵即可求出P

用这个方法也可以解决“由特征值和特征向量反求A”的问题：

一定存在可逆矩阵P，使得P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ，这就可以求出A=PΛP−1A=P\Lambda P^{-1}A=PΛP−1

于是问题可以分解成：1. 使用特征向量求出P；2. 使用已知的特征值求出Λ\LambdaΛ

在正交矩阵的情况下可以用转置矩阵PTP^TPT代替P−1P^{-1}P−1

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特征值和相似对角化的深入理解

特征值

求特征值的方法

相似矩阵

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可相似对角化的条件

核心结论：实对称矩阵必可相似对角化

判别矩阵是否可相似对角化的基本方法

必可相似对角化的矩阵

典型问题：求使P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ的可逆矩阵P

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