括号序列（DP优化）

Question:

Solve:

声明：全文为蓝桥杯官方题解的重新思考整理，众所周知我写这道题写出事故了，可能解释的也会很难懂~

不难想到是dp，但是怎么dp真的不好想

参数解释：

cntl， cntr 原括号序列想要合法所需填充的左、右括号数

pos1， pos2 原括号序列所含有的左(右)、右(左)括号数

dp[ i ][ j ]

dp数组，数值表示第 i 个左(右)括号位置前一共填充 j 个右(左)括号的方案数

pre[ i ]

前缀和维护数组，填充括号数小于等于 i 的总方案数

minn[ i ]

最小填充数组，表示第 i 个左(右)括号位置前面至少要填充的右(左)括号数

解题历程：

step 1：原括号序列想要合法所需填充的左、右括号数计算

方法：

遍历s，遇到 " ) " 时 cnt 减一，反之加一，当cnt < 0 时，cnt清零，同时cntl加一，遍历结束之后，cnt 的值也就是所需要的左括号数目，下面举个例子：

step 2：主体，只填充某种括号的方案数计算

dp基本思考：

用左括号的填充为例~

（dp第一维）

每一次进行括号填充的位置一定是在每一个右括号所在的位置，所以，以每一个右括号的位置 pos 为切入点，思考填充方案:

（dp第二维）

首先，假定最近两个右括号的位置分别为pos_1, pos_2 (pos_2 > pos_1)

那么，对于前 pos_2 的子串

所填充的左括号数必须大于最小填充数 minn[pos_2]，小于总填充的最大数目 cntl

（dp第三维）

在上述范围内随便取一个数 num ，我们就可以选择在前 pos_1 的子串里添加 num1 个左括号，然后在 pos_2 的位置填充（num - num1）个左括号，从而实现前 pos_2 的子串一共填充 num 个左括号的要求，不难知道num1的范围是[ 0 ~ num ]，严格来说应该是[ minn[pos_1] ~ num ]

那么前 pos_2 的子串一共填充 num 个左括号的方案数也就是：对 num1 从 0 取到 num 时 pos_1位置的填充方案求和

状态转移方程：

上述已经分析出 pos_2 位置的方案数可以用 pos_1 位置的方案数来表示，现在建立 dp 主体：

第一维的核心在于右括号的位置，其实也是右括号的出现序数，所以用 dp[ i ] 来表示第 i 个右括号

第二维的核心在于填充的左括号数目范围

第三维的核心在于对每个填充数的具体讨论

所以dp[ i ][ j ] 的 j 来表示填充数，结合所求的是方案数，所以数组整体含义：第 i 个右括号位置前一共填充 j 个左括号的方案数

结合所有分析，现在就可以得到一个关系式了：

dp[ i ][ j ] = sum( dp[i-1][0] + ... + dp[i-1][j])

dp优化方向：

得到上述的关系式以后，我们思考程序：

1.明确这是一个三层的循环

第一层从 1 到右括号的总数目，是对dp数组的 i 遍历

第二层从第 i 个右括号位置的最小填充数到最大填充数，是对dp数组的 j 遍历

第三层是从 0 到 j 的遍历，表示关系式里的求和赋值

只有经过这三层循环之后，才能得到最终的结果dp[ pos1 ][ cntl ]

可以注意到，在第三层循环里，会不断的计算前缀和这个东西，那我就可以再开一个 pre 数组去保存前缀和，从而把第三层循环去掉，变成直接赋值，保证程序能够AC

2.具体怎么实现二维优化

我们知道，在第二层里填充数有一个范围[ minn[pos], cntl ]

而变成赋值之后，也就是去掉第三层循环，添加式子 dp[ i ][ j ] = pre[ j ] (pre[ j ]含义看文章开头)

所以可以得到这样的一个逻辑式

并且，赋值前后要先将这个逻辑式实现

step 3：反转计算

上面的过程只是分析了填充左括号的方案数，还有填充右括号，二者是独立的，所以需要再次执行上述的过程，然后将两次的方案数相乘

其中涉及到对于原序列括号数、最小填充数minn[]的重新计算，可以将原括号序列彻底翻转来进行计算，比如括号序列")()((()" ,翻转为"()))()("

整个的具体实现看代码吧~

Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;const int mod = 1e9+7;
string s;
int cntl, cntr, cnt;
ll dp[5010][5010], pre[5010], minn[5010];
//函数参数（需要填充的对应括号数，是否为左括号填充）
ll solve(int ans, bool isl){if(ans == 0) return 1;//初始化memset(dp,0,sizeof(dp));memset(pre,0,sizeof(pre));memset(minn,0,sizeof(minn));//括号反转if(!isl){for(int i = 0; s[i]; i++){if(s[i] == '(') s[i] = ')';else s[i] = '(';}reverse(s.begin(), s.end());}//计算第pos个左(右)括号前最少需要的右(左)括号数minn[pos]int pos1 = 0, pos2 = 0;for(int i = 0; s[i]; i++){if(s[i] == ')')minn[++pos1] = pos2;elsepos2++;}//dp,pre初始化if(minn[1] > 0) pre[0] = dp[1][0] = 1;for(int i = 1; i <= ans; i++){dp[1][i] = 1; pre[i] = pre[i-1] + 1;}//第一维：从2到所含有的最大对应括号数for(int i = 2; i <= pos1; i++){//第二维//小于最小填充数部分前缀和更新为0for(int j = 0; j < i-minn[i]; j++) pre[j] = 0;for(int j = i-minn[i]; j <= ans; j++){dp[i][j] = pre[j];//在填充范围内部分更新前缀和if(j - 1 < 0) pre[j] = dp[i][j];else pre[j] = (pre[j-1] + dp[i][j]) % mod;}}return dp[pos1][ans];
}
int main(void) {cin >> s;//计算所需括号数量cnt = cntl = cntr = 0;for (int i = 0; s[i]; i++) {if (s[i] == '(') cnt++;else cnt--;if (cnt < 0) {cntl++;cnt = 0;}}cntr = cnt;//调用函数输出结果cout << solve(cntl, true) * solve(cntr, false) % mod;return 0;
}

最后附上蓝桥杯汇总链接：蓝桥杯C/C++A组省赛历年真题题解

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