概率统计Python计算：单因素试验参数的区间估计

对单因素试验模型X={X1,X2,⋯,Xs}X=\{X_1,X_2,\cdots,X_s\}X={X1,X2,⋯,Xs}，其中Xi={Xi1,Xi2,⋯,Xini}X_i=\{X_{i1},X_{i2},\cdots,X_{in_i}\}Xi={Xi1,Xi2,⋯,Xini}，i=1,2⋯,si=1,2\cdots,si=1,2⋯,s（诸nin_ini未必相等），表示来自对应水平AiA_iAi的试验指标N(μi,σ2)N(\mu_i,\sigma^2)N(μi,σ2)的样本数据。调用平方和分解函数sfeDecompose(X)可以算得数据nnn，sss，{n1,n2,⋯,ns}\{n_1,n_2,\cdots,n_s\}{n1,n2,⋯,ns}，{X‾1,X‾2,⋯,X‾s}\{\overline{X}_1,\overline{X}_2,\cdots,\overline{X}_s\}{X1,X2,⋯,Xs}，X‾\overline{X}X，STS_TST，SES_ESE和SAS_ASA。利用其中的nnn，sss，SAS_ASA和SES_ESE，调用假设检验函数sfeTest可以算得假设H0:μ1=μ2=⋯=μsH_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_sH0:μ1=μ2=⋯=μs在显著水平α\alphaα下的检验。无论检验结果是接受还是拒绝假设H0H_0H0，我们都用数轴量SEσ2\frac{S_E}{\sigma^2}σ2SE~χ2(n−s)\chi^2(n-s)χ2(n−s)可算得σ2\sigma^2σ2的置信水平为1−α1-\alpha1−α的置信区间。若接受H0H_0H0，则可利用枢轴量X‾−μST(n−1)n\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\frac{S_T}{(n-1)n}}}(n−1)nSTX−μ~t(n−1)t(n-1)t(n−1)算得μ\muμ的置信区间。若拒绝假设H0H_0H0，则可利用枢轴量X‾i−X‾j−(μi−μj)SEn−s(1ni+1nj)\frac{\overline{X}_i-\overline{X}_j-(\mu_i-\mu_j)}{\sqrt{\frac{S_E}{n-s}\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}}n−sSE(ni1+nj1)Xi−Xj−(μi−μj)~t(n−s)t(n-s)t(n−s)算得μi−μj\mu_i-\mu_jμi−μj的置信区间，1≤i<j≤s1\leq i<j\leq s1≤i<j≤s。下列代码按上述思想定义计算单因素试验参数区间估计的函数。

import numpy as np
def sfeEstimat(accept, n, s, X_bar, Xt_bar, ST, SE, alpha):ans=[]                                              #初始化返回值nt=n.sum()                                          #数据总容量(a, b)=sigma2Bounds(SE, nt-s, 1-alpha)             #sigma^2的置信区间ans.append((a, b))if accept:                                          #若H0为真d=np.sqrt(ST/(nt-1)/nt)(a, b)=muBounds(Xt_bar, d, 1-alpha, nt-1)       #计算mu的置信区间ans.append((a, b))else:                                               #若H0为假for i in range(s):                              #对每个ifor j in range(i+1, s):                     #对每个j>imean=X_bar[i]-X_bar[j]                  #差mui-mujS_E=SE/(nt-s)                           #sigma^2估计值d=np.sqrt(S_E*(1/n[i]+1/n[j]))          #置信区间增量因子(a, b)=muBounds(mean, d, 1-alpha, nt-s) #置信区间ans.append((a, b))                      #置信区间return np.array(ans)

函数sfeEstimat的参数accept表示是否接受假设H0H_0H0，除此之外的其他参数均与由调用函数sfeDecompose算得的同名变量的意义相同，此不赘述。第3行将返回值ans初始化为空的list。第4行计算数据总容量nt。第5行调用计算正态总体N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)的参数σ2\sigma^2σ2的函数sigma2Bounds，计算参数σ2\sigma^2σ2的置信水平为1−α1-\alpha1−α的置信区间。第6行将区间数据(a,b)加入ans。第7~18行的if-else语句分别就假设H0H_0H0为真或假计算μ\muμ的置信区间或诸μi−μj\mu_i-\mu_jμi−μj，1≤i<j≤s1\leq i<j\leq s1≤i<j≤s的置信区间。其中第8~10行调用计算正态总体参数μ\muμ的置信区间的函数muBounds，计算参数μ\muμ的置信水平为1−α1-\alpha1−α的置信区间(a,b)。第12~18行的双重for语句，计算诸μi−μj\mu_i-\mu_jμi−μj的置信水平为1−α1-\alpha1−α的置信区间。第14行计算差X‾i−X‾j\overline{X}_i-\overline{X}_jXi−Xj为mean，第15行计算σ2\sigma^2σ2的无偏估计值SEn−s\frac{S_E}{n-s}n−sSE为S_E，第16行计算置信区间增量因子SEn−s(1ni+1nj)\sqrt{\frac{S_E}{n-s}\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}n−sSE(ni1+nj1)为d。第17行调用函数muBounds计算μi−μj\mu_i-\mu_jμi−μj的置信区间。
例1制造某型号计算器要用到某种类型的电路板。电路板由四家工厂提供，分别随机选取使用来自各厂家电路板的计算器，其响应时间（以毫秒计）列表如下：
厂家I：19,22,20,18,15厂家II：20,21,33,27,40厂家III：16,15,18,26,17厂家IV：18,22,19\text{厂家I：}19,22,20,18,15\\ \text{厂家II：}20,21,33,27,40\\ \text{厂家III：}16,15,18,26,17\\ \text{厂家IV：}18,22,19厂家I：19,22,20,18,15厂家II：20,21,33,27,40厂家III：16,15,18,26,17厂家IV：18,22,19
判断不同厂家的电路是否显著影响计算器的计算响应时间。
解：本例中，试验指标为计算响应时间。可变因素为使用的不同厂家的电路板，该因素有4个水平。这也是一个单因素试验，设用第iii个厂家生产的电路计算响应时间为随机变量XiX_iXi~N(μi,σ2)N(\mu_i, \sigma^2)N(μi,σ2)，i=1,2,3,4i=1, 2, 3, 4i=1,2,3,4。为判断不同的厂家的电路是否显著影响计算器的计算响应时间，利用试验数据检验假设：
H0:μ1=μ2=μ3=μ4(H1:μ1,μ2,μ3,μ4不全相等).H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4(H_1:\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4\text{不全相等}).H0:μ1=μ2=μ3=μ4(H1:μ1,μ2,μ3,μ4不全相等).
下列代码完成本例计算。

import numpy as np                                           #导入numpy
X=np.array([np.array([19, 22, 20, 18, 15]),                    #试验数据np.array([20, 21, 33, 27, 40]),np.array([16, 15, 18, 26, 17]),np.array([18, 22, 19])])
alpha=0.05                                                 #显著水平
(n, s, X_bar, Xt_bar, ST, SA, SE)=sfeDecompose(X)          #方差分解
accept=sfeTest(n, s, SA, SE, alpha)                            #假设检验
ans=sfeEstimat(accept, n, s, X_bar, Xt_bar, ST, SE, alpha) #参数估计
print(‘H0 is %s’%accept)
for a,b in ans:print('(%.3f, %.3f)'%(a,b))

第2~6行按题面设置数据。第7行调用平方和分解函数sfeDecompose(X)，算得数据项nnn，sss，SAS_ASA和SES_ESE等，第8行调用假设检验函数sfeTest传递这些数据和显著水平α\alphaα，计算对假设H0:μ1=μ2=μ3=μ4H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4H0:μ1=μ2=μ3=μ4的检验，结果存储于accept。第9行调用参数区间估计计算函数sfeEstimat根据假设检验的结果accept，利用数据nnn，sss，STS_TST和SES_ESE和显著水平α\alphaα计算各参数的置信区间。运行程序，输出

H0 is False
(15.141, 70.259)
(-16.609, -2.191)
(-6.809, 7.609)
(-9.191, 7.458)
(2.591, 17.009)
(0.209, 16.858)
(-9.591, 7.058)

其中，第1行表示拒绝假设H0H_0H0，第2行表示σ2\sigma^2σ2的置信区间，由于拒绝假设H0:μ1=μ2=μ3=μ4H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4H0:μ1=μ2=μ3=μ4，故第3~8行显示μ1−μ2\mu_1-\mu_2μ1−μ2，μ1−μ3\mu_1-\mu_3μ1−μ3，μ1−μ4\mu_1-\mu_4μ1−μ4，μ2−μ3\mu_2-\mu_3μ2−μ3，μ2−μ4\mu_2-\mu_4μ2−μ4和μ3−μ4\mu_3-\mu_4μ3−μ4在0.95的置信水平下的置信区间。
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