算法学习：AC自动机

【定义】

【自动机】由 状态集，初始状态集，终止状态集，字母集，对应关系五个元素组成的结构

　　　　　可以简单的将状态集理解为结点，初始状态集理解为初始点，终止状态集理解为终点

字母集理解为一个状态能够拥有的出边的最大个数，而在自动机中，特殊的是，一个结点的所有出边必须都要存在

例如在AC自动机中，每个节点都必须要有26个字母的出边所指向的节点

对应关系，可以理解为连通的边，例：节点 u 的 ’a‘ 的出边能够到达节点 v ，这就是一组对应关系

注：自动机的概念不用知道也可以学自动机，但是个人感觉理解了自动机的含义，更容易去明白他的本质

而且后面学其他自动机也更容易理解

【模式串】一个比较短的串，需要找 文本串上有多少个他

【文本串】一个比较长的串，需要在 他上面有多少个模式串

【前置知识】

【trie树（字典树）】从根节点插入一个字符串，依次插入

【KMP】单文本 logn 复杂度内查找模式串出现次数

【强烈建议看最后的扩展】

【解决问题】

多个模式串匹配文本串

给定一个较长串为文本串，给定多个模式串，询问这两者的关系

（也有可能不只有一个文本串）

一般为出现次数什么的

AC自动机本身保存这个字符串的所有子串的相关信息

即这个子串作为模式串出现的次数，这个子串的后缀之中能够包含多少模式串

【算法思想】

这个自动机的优点和KMP类似，所以有的博客中也会说，这是一个树上KMP。

KMP的优点在于有next数组作为指针失配时的指针，使字符串匹配可以不需要再次查找已经查找的串

而AC自动机也有他的“next数组”，f a i l 。

AC自动机中的 f a i l 指针表示的是，当当前匹配的模式串失效后，已经匹配的一半模式串的拥有最长后缀的模式串的结尾的位置

对于一个AC自动机，我们需要先把所有的模式串都插入一颗 trie 树

int trie[MAXN][26];
//s是需要插入的模式串
void insert(string s)
{int u = 0;//从根节点开始检索for (int i = 0; i < s.size(); i++){int x = s[i] - 'a';if (!trie[u][x])//如果没有这个节点//需要新开拓一个节点，保存这个新的分支
        {trie[u][x] = ++cnt;}u = trie[u][x];}val[u]++;//说明这个节点是一个模式串的结尾return;
}

然后根据我们对 f a i l 的定义去寻找f a i l 指针

void get_fail()
{queue<int> q;for (int i = 0; i < 26; i++)    if (trie[0][i])  fail[trie[0][i]] = 0, q.push(trie[0][i]);//让所有的根节点连接的节点的fail指针指向根节点//并且加入队列while (!q.empty()){int u = q.front(); q.pop();for (int i = 0; i < 26; i++)//循环查找每个字母    if (trie[u][i])//如果存在这个节点//
                        {//他的 fail 就是 他父节点的 fail 的这个字母的位置//因为等于是在后缀上新加了一个字母 fail[trie[u][i]] = trie[fail[u]][i];q.push(trie[u][i]);}elsetrie[u][i] = trie[fail[u]][i];//如果没有//向上递归一层，方便之后的查找
    }return;
}

这里应该有张图说明一下，但是我懒得画

【模板题】

【题目大意】给n个模式串和1个文本串，问有多少个模式串在文本串中出现过

【解决方法】在trie树上跑文本串

int query(string s)
{int u = 0, ans = 0;//从根节点开始依次查找for (int i = 0; i < s.size(); i++){u = trie[u][s[i] - 'a'];//走到自己这个位置字符所在的节点for (int t = u; t && ~val[t]; t = fail[t])//从这个节点开始向上跳fail指针//查找有没有符合要求的字符串，如果是则这个字符串就会被记录ans += val[t], val[t] = -1;//-1是为了防止被重复计算
    }return ans;
}

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN = 1000010;
int fail[MAXN],cnt;
int trie[MAXN][26];
int val[MAXN];
void insert(string s)
{int u = 0;for (int i = 0; i < s.size(); i++){int x = s[i] - 'a';if (!trie[u][x]){trie[u][x] = ++cnt;}u = trie[u][x];}val[u]++;return;
}
void get_fail()
{queue<int> q;for (int i = 0; i < 26; i++)    if (trie[0][i])  fail[trie[0][i]] = 0, q.push(trie[0][i]);while (!q.empty()){int u = q.front(); q.pop();for (int i = 0; i < 26; i++)if (trie[u][i]){fail[trie[u][i]] = trie[fail[u]][i];q.push(trie[u][i]);}elsetrie[u][i] = trie[fail[u]][i];}return;
}
int query(string s)
{int u = 0, ans = 0;for (int i = 0; i < s.size(); i++){u = trie[u][s[i] - 'a'];for (int t = u; t && ~val[t]; t = fail[t])ans += val[t], val[t] = -1;}return ans;
}
int main()
{int T;cin >> T;while (T--){string s;cin >> s;insert(s);}get_fail();string s;cin >> s;printf("%d", query(s));return 0;
}

View Code

【扩展】

这一步扩展其实才是AC自动机的精髓所在，也是比赛中比较常用的方法

就像是网络流不可能直接给图找最大流，而是通过建图的方式考察对算法的理解

AC自动机也有同样的情况

那就是通过抽离 fail 指针，建 fail 树，并且对其进行一系列操作完成任务

这不就是AC自动机抽离fail指针建可持久化线段树么

讲解在另外一道题里面

【NOI 2011】阿狸的打字机

转载于:https://www.cnblogs.com/rentu/p/11297951.html

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