最短路径(Dijkstra算法)（c/c++）

Dijkstra是一种求单源点最短路径的算法，即求某一个顶点到其余各顶点之间的最短路径，下面采用邻接矩阵来存储图中信息

算法思路为：

1，假设v0是源点，s是已求得最短路径的终点集合，用D[i]来保存从v0到vi顶点之间的最短路径。初始：将v0置于集合s之中，
2，初始化D[i]为v0到vi之间的权值。a，求从v0出发长度最短的路径，通过计算D[j]=min{D[i]|vi不属于s}，找到j顶点，将j顶点加入s集合。b，求下一条最短路径，因为有新的结点加入到s集合中，所以需要修改从v0到其余不属于s的顶点之间的D[i]上的值。即若D[j]+arcs[j][k]<D[k](k不属于s中），修改D[k]值为D[j]+arcs[j][k]
3，重复2中的a，b步骤

示例如下

按照上面思路列出每一次循环的结果列表如下：

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
v1	∞	∞	∞	∞	∞
v2	10 (v0,v2)	\	\	\	\
v3	∞	60 (v0,v2,v3)	50 (v0,v4,v3)	\	\
v4	30 (v0,v4)	30 (v0,v4)	\	\	\
v5	100 (vo,v5)	100 (vo,v5)	90 (v0,v4,v5)	60 (vo,v4,v3,v5	\
vj	v2	v4	v3	v5	\
s	{vo,v2}	{vo,v2,v4}	{vo,v2,v4,v3}	{vo,v2,v4,v3,v5}	∞

辅助结构

bool final[maxSize];//表示集合s
final[i] = true;//顶点i在s中
final[i] = false;//i不在s中

bool p[maxSize][maxSize];//表示路径，
p[v][w] = true;//表示w顶点属于从源点到v顶点最短路径上的一个顶点
p[v][w] = false;//表示w顶点不属于从源点到v顶点最短路径上的一个顶点

int D[maxSize];//表示从源点到各个顶点之间最短路径长度

Dijkstra算法

void dijkstra(mGraph& G, int v0)
{int i, j, minValue, min;//初始化for (i = 0; i < G.vexnum; ++i){final[i] = false;D[i] = G.arc[v0][i];for (j = 0; j < G.vexnum; ++j)p[v0][j] = false;if (G.arc[v0][i] < infini){p[i][v0] = true;p[i][i] = true;}}final[v0] = true;//v0入集合D[v0] = 0;for (i = 1; i < G.vexnum; ++i)//循环G.vexnum-1次{//找到最小的D[i]minValue = infini;for (j = 0; j < G.vexnum; ++j){if (final[j]==false)if (minValue>D[j]){minValue = D[j];min = j;}}final[min] = true;//更新for (j = 0; j < G.vexnum; ++j){if (final[j] == false && minValue + G.arc[min][j] < D[j])//若G.arc[min][j]为INT_MAX,左边相加则会溢出，所以不能使用INT_MAX{//更新DD[j] = minValue + G.arc[min][j];//更新pfor (int temp = 0; temp < G.vexnum; ++temp)p[j][temp] = p[min][temp];p[j][j] = true;}}}
}

完整示例

#include<iostream>
#define infini INT_MAX/2//最大值不选取INT_MAX，防止溢出
#define maxSize 6//顶点数目
#define MAX 8//边的个数
//邻接矩阵
typedef struct
{int vexnum, arcnum;//顶点数和边数char vex[maxSize];//顶点信息(字符)int arc[maxSize][maxSize];//二维数组(存储边上的信息)
}mGraph;bool final[maxSize];//表示集合s
bool p[maxSize][maxSize];//表示路径
int D[maxSize];//表示从源点到各个顶点之间最短路径长度void dijkstra(mGraph& G, int v0);//求最短路径
int main()
{using namespace std;mGraph G;//邻接矩阵存储图并进行初始化G.vexnum = maxSize;G.arcnum = MAX;char vexData[maxSize] = { 'a', 'b', 'c', 'd', 'e','f' };//顶点信息int arcData[MAX][3] = { { 0, 2 ,10}, { 0, 5,100 }, { 0, 4 ,30}, { 1, 2,5 }, { 2, 3 ,50},{ 3, 5, 10 }, { 4, 3, 20 }, { 4, 5, 60 } };//连接的边int i, j;for (i = 0; i < G.vexnum; ++i){G.vex[i] = vexData[i];for (j = 0; j < G.vexnum; j++)G.arc[i][j] = infini;}for (i = 0; i < G.arcnum; i++)G.arc[arcData[i][0]][arcData[i][1]] = arcData[i][2];//初始化完毕cout << "求从v0顶点出发的最短路径: ";cout << endl;dijkstra(G, 0);for (i = 1; i < G.vexnum; ++i){if (D[i] == infini){cout << "不存在到v" << i<< "的路径" << endl;continue;}cout << "到v" << i << ": 长度为" << D[i] << ' '<< "最短路径上的顶点为";for (j = 0; j < G.vexnum; ++j)if (p[i][j] == true)cout << 'v' << j << ' ';cout << endl;}cout << endl;return 0;
}
void dijkstra(mGraph& G, int v0)
{int i, j, minValue, min;//初始化for (i = 0; i < G.vexnum; ++i){final[i] = false;D[i] = G.arc[v0][i];for (j = 0; j < G.vexnum; ++j)p[v0][j] = false;if (G.arc[v0][i] < infini){p[i][v0] = true;p[i][i] = true;}}final[v0] = true;//v0入集合D[v0] = 0;for (i = 1; i < G.vexnum; ++i)//循环G.vexnum-1次{//找到最小的D[i]minValue = infini;for (j = 0; j < G.vexnum; ++j){if (final[j]==false)if (minValue>D[j]){minValue = D[j];min = j;}}final[min] = true;//更新for (j = 0; j < G.vexnum; ++j){if (final[j] == false && minValue + G.arc[min][j] < D[j])//若G.arc[min][j]为INT_MAX,左边相加则会溢出，所以不能使用INT_MAX{//更新DD[j] = minValue + G.arc[min][j];//更新pfor (int temp = 0; temp < G.vexnum; ++temp)p[j][temp] = p[min][temp];p[j][j] = true;}}}
}

输出结果为下图：

Floyd算法求最短路径：
https://blog.csdn.net/Little_ant_/article/details/104293812
附：如果采用上面链接博文中的Floyd算法求上图的最短路径，结果如下：

（ps：希望大家可以多多点赞

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