最短路径-Dijkstra算法与Floyd算法

原文：https://www.cnblogs.com/smile233/p/8303673.html

一、最短路径

　　①在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。

AE：1 ADE：2 ADCE：3 ABCE：3

　　②在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。

AE：100 ADE：90 ADCE：60 ABCE：70

　　③单源点最短路径问题

　　问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。

　　应用实例——计算机网络传输的问题：怎样找到一种最经济的方式，从一台计算机向网上所有其它计算机发送一条消息。

　　④每一对顶点之间的最短路径

　　问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)，对任意顶点vi,vj∈V（i≠j），求顶点vi到顶点vj的最短路径。

　　解决办法1：每次以一个顶点为源点，调用Dijkstra算法n次。显然，时间复杂度为O(n3)。解决办法2：弗洛伊德提出的求每一对顶点之间的最短路径算法——Floyd算法，其时间复杂度也是O(n3)，但形式上要简单些。

二、Dijkstra算法

　　①基本思想：设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。

　　②设计数据结构 :

　　1、图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构。

　　2、数组dist[n]：每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。

　　3、数组path[n]：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。

　　4、数组s[n]：存放源点和已经生成的终点，其初态为只有一个源点v。

　　③Dijkstra算法——伪代码

1 1. 初始化数组dist、path和s；
2 2. while (s中的元素个数<n)
3      2.1 在dist[n]中求最小值，其下标为k；
4      2.2 输出dist[j]和path[j]；
5      2.3 修改数组dist和path；
6      2.4 将顶点vk添加到数组s中；

　　④C++代码实现

 1 #include<iostream>2 #include<fstream>3 #include<string>4 using  namespace std;5 #define MaxSize  106 #define MAXCOST 100007 // 图的结构8 template<class T>9 struct Graph
10 {
11     T vertex[MaxSize];// 存放图中顶点的数组
12     int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放图中边的数组
13     int vertexNum, arcNum;// 图中顶点数和边数
14 };
15 // 最短路径Dijkstra算法
16 void Dijkstra(Graph<string> G,int v)
17 {
18     int dist[MaxSize];//  i到j的路径长度
19     string path[MaxSize];// 路径的串
20     int s[MaxSize];// 已找到最短路径的点的集合
21     bool Final[MaxSize];//Final[w]=1表示求得顶点V0至Vw的最短路径
22     // 初始化dist\path
23     for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
24     {
25         Final[i] = false;
26         dist[i] = G.arc[v][i];
27         if (dist[i] != MAXCOST)
28             path[i] = G.vertex[v] + G.vertex[i];
29         else
30             path[i] = " ";
31     }
32     s[0] = v; // 初始化s
33     Final[v] = true;
34     int num = 1;
35     while (num < G.vertexNum)
36     {
37         // 在dist中查找最小值元素
38         int k = 0,min= MAXCOST;
39         for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
40         {
41             if (i == v)continue;
42             if (!Final[i] && dist[i] < min)
43             {
44                 k = i;
45                 min = dist[i];
46             }
47         }
48         cout << dist[k]<<path[k]<<endl;
49         s[num++] = k;// 将新生成的结点加入集合s
50         Final[k] = true;
51         // 修改dist和path数组
52         for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
53         {
54             if (!Final[i]&&dist[i] > dist[k] + G.arc[k][i])
55             {
56                 dist[i] = dist[k] + G.arc[k][i];
57                 path[i] = path[k] + G.vertex[i];
58             }
59         }
60     }
61 }
62 int main()
63 {
64     // 新建图
65     Graph<string> G;
66     string temp[]= { "v0","v1","v2","v3","v4" };
67     /*int length = sizeof(temp) / sizeof(temp[0]);
68     G.vertexNum = length;
69     G.arcNum = 7;*/
70     ifstream in("input.txt");
71     in >> G.vertexNum >> G.arcNum;
72     // 初始化图的顶点信息
73     for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
74     {
75         G.vertex[i] = temp[i];
76     }
77     //初始化图G的边权值
78     for (int i =0; i <G.vertexNum; i++)
79     {
80         for (int j = 0; j <G.vertexNum; j++)
81         {
82             G.arc[i][j] = MAXCOST;
83         }
84     }
85     for (int i = 0; i < G.arcNum; i++)
86     {
87         int m, n,cost;
88         in >> m >> n >> cost;
89         G.arc[m][n] = cost;
90     }
91     Dijkstra(G, 0);
92     system("pause");
93     return 0;
94 }

// input.txt
1 5 7
2 0 1 10
3 0 3 30
4 0 4 100
5 1 2 50
6 2 4 10
7 3 2 20
8 3 4 60

三、Floyd算法

　　①基本思想：对于从vi到vj的弧，进行n次试探：首先考虑路径vi,v0,vj是否存在，如果存在，则比较vi,vj和vi,v0,vj的路径长度，取较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。在路径上再增加一个顶点v1，依此类推，在经过n次比较后，最后求得的必是从顶点vi到顶点vj的最短路径。

　　②设计数据结构

　　1、图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构。

　　2、数组dist[n][n]：存放在迭代过程中求得的最短路径长度。迭代公式：

　　3、数组path[n][n]：存放从vi到vj的最短路径，初始为path[i][j]="vivj"。

　　③C++代码实现

 1 #include<iostream>2 #include<fstream>3 #include<string>4 using  namespace std;5 #define MaxSize  106 #define MAXCOST 100007 int dist[MaxSize][MaxSize];// 存放在迭代过程中求得的最短路径8 string path[MaxSize][MaxSize];// vi到vj的最短路径9 // 图的结构
10 template<class T>
11 struct Graph
12 {
13     T vertex[MaxSize];// 存放图中顶点的数组
14     int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放图中边的数组
15     int vertexNum, arcNum;// 图中顶点数和边数
16 };
17 void Floyd(Graph<string> G)
18 {
19     // 初始化
20     for(int i=0;i<G.vertexNum;i++)
21         for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++)
22         {
23             if (i == j) { dist[i][j] = 0; path[i][j] = ""; }
24             dist[i][j] = G.arc[i][j];
25             if (dist[i][j] != MAXCOST)
26                 path[i][j] = G.vertex[i] + G.vertex[j];
27             else
28                 path[i][j] = " ";
29         }
30     // 进行n次迭代
31     for(int k=0;k<G.vertexNum;k++)
32         for(int i=0;i<G.vertexNum;i++)
33             for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++)
34                 if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
35                 {
36                     dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
37                     path[i][j] = path[i][k] + path[k][j];
38                 }
39 }
40 int main()
41 {
42     int i, j, cost;
43     Graph<string> G;// 存放图的信息
44     ifstream in("input.txt");
45     in >> G.vertexNum >> G.arcNum;
46     string temp[] = { "a","b","c" };
47     // 初始化图的顶点信息
48     for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
49     {
50         G.vertex[i] = temp[i];
51     }
52     //初始化图G
53     for (i = 0; i < G.vertexNum; i++)
54     {
55         for (j = 0; j < G.vertexNum; j++)
56         {
57             G.arc[i][j] = MAXCOST;
58         }
59     }
60     //构建图G
61     for (int k = 0; k <G.arcNum; k++)
62     {
63         in >> i >> j >> cost;
64         G.arc[i][j] = cost;
65     }
66     Floyd(G);
67     for (i = 0; i < G.vertexNum; i++)
68     {
69         for (j = 0; j < G.vertexNum; j++)
70         {
71             if (i != j)
72             {
73                 cout << "顶点" << i << "到顶点" << j << "的最短路径长度为" << dist[i][j] << endl;
74                 cout << "具体路径为:" << path[i][j] << endl;
75             }
76         }
77     }
78     system("pause");
79     return 0;
80 }

// input.txt
3 5
0 1 4
1 0 6
0 2 11
2 0 3
1 2 2

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