离散点拟合曲线贝塞尔曲线B样条

第三章 离散点绘制平面曲线;;不规则曲线(拟合曲线)：指已知平面一些离散点的坐标，但曲线方程未知，需要人为设计曲线方程对这些点进行拟合形成的曲线。; 在用拟合方法建立曲线拟合方程时，通常把不规则曲线分为两类： 1. “点点通过”式 ; 2. “平均通过”式 当已知数据点有一定误差时，所拟合的曲线不通过所有已知点，曲线代表的是这些数据点的变化趋势。; 一般可分为直角坐标方程和参数方程两类。 例如：对于圆心坐标为(x0 , y0)，半径为 r 的圆， 其直角坐标方程为： (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 参数方程为：

在计算机绘图时，使用参数方程要比直角坐标方程方便。 参数方程还有另外一种形式。; 例如：对于二次抛物线曲线，其参数方程可表示为

设

上述参数方程可写为：

方程②称为曲线的参数矢量方程。 在构建曲线方程时，通常采用方程②的矢量形式；在绘制曲线时，通常采用方程①的分量形式。; 当平面上已知数据点较多时，针对所有点拟合曲线方程有时非常困难，或者得到的曲线方程非常复杂、不实用。 可分别针对部分点进行分段拟合，分段拟合得到的曲线段会涉及到曲线段的连接问题。 例如：若已知3个平面离散点，用1条抛物线段对其拟合；若有5个点，可用2条抛物线段进行分段拟合。; 1. C 1连续 在连接点 pj 处，若两曲线段的切线斜率相等(相同的切线)，或者说一阶导数连续，即; 可以设计一个光滑的曲线段去逼近这个特征多边形。 贝塞尔曲线就属于这类曲线。 该曲线由法国汽车工程师Bezier首先提出，最初用于汽车零件外形的设计。目前广泛应用于与计算机绘图相关的各个领域。;;;; 绘制方法：将参数 t 的区间[0 , 1]划分为 n 等份，依次取t = 1/n , 2/n , 3/n , … ，利用曲线参数方程计算对应的各点坐标，并用直线段依次连接各点。 在已知三个平面离散点时，可绘制二次Bezier曲线； 若有n+1个平面离散点时，则可绘制n次Bezier曲线。; n次Bezier曲线参数矢量方程的一般形式：;;二、二次Bezier 曲线的程序设计思路 已知：平面上 3 个离散点P0、P1、P2的坐标( x0 , y0 )、( x1 , y1 )、( x2 , y2)。 二次Bezier 曲线参数方程的分量形式：; ①曲线通过始点和终点，并与特征多边形首末两边相切于始点和终点，中间点将曲线拉向自己。;§3 B样条曲线; 二次B样条曲线参数方程的矩阵形式：;分量形式为：; ②终点为P1、P2点的中点，并与线段P1P2相切； ③除起点、终点外，中间点将曲线拉向自己。 ④二次B 样条曲线为“平均通过式”曲线 3. 多点时二次B 样条曲线的应用 二次B 样条曲线是针对3个离散点设计的，如果多于3个离散点，则采用二次B 样条曲线进行分段拟合。 假设有n+1个离散点，记为Pi(i = 0 , 1 , … , n)，采用二次B样条曲线进行分段拟合的过程是： 以P0、P1、P2 为控制点绘制第1条二次B样条曲线； 以P1、P2、P3 … … … … 2 … … … ； ┇ … ┇ … … ； 以Pn-2、Pn-1、Pn … … n-1 … … … ；; 6个离散点绘制二次B 样条曲线的情况如下图：; 按照上述方法处理后，可绘制始于起点而止于终点的二次B 样条曲线。; ①参数 存放点坐标的数组；点的个数；[0,1]区间等分数。;二次贝塞尔曲线 由3个平面离散点确定 曲线特点 多点时可进行分段拟合，连接点一般不光滑二次B样条曲线 由3个平面离散点确定 曲线特点多点时可进行分段拟合，连接点为C1级光滑 边界问题; 二、三次B样条曲线;;; 3.多点三次B样条曲线的分段拟合;;;