[zz]用三阶贝塞尔曲线（贝兹曲线）拟合劣圆弧的公式（附伪代码）

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三阶贝塞尔曲线有四个控制点A、B、C、D, 若要用三阶贝塞尔曲线拟合劣圆弧，自然的要求是：

1）A位于圆弧的起点，D位于圆弧的终点；

2）向量AB，CD分别与圆弧相切，且与圆弧的方向一致；

3）B、C两点位置对称。

在这样的要求之下，对于给定的圆弧(设圆心角为θ，半径为R)，只有长度|AB|=|CD|待定。可以如下选取：

其中

注：

1）对于半圆，这样拟合所产生的(半径的最大的)误差约为β/2，精度会随角度减小而迅速提高。

2）若对精度要求不那么高，也可采用

误差会比这里的公式大40%左右. 这个公式应用很广泛.

3) 还有更精确的公式（大约能比这里的公式准千分之几），但形式较复杂，这里不再列出。可参见例如M. Goldapp, Approximation of circular arcs by cubic polynomials. Computer Aided Geometric Design, 1991, 8(3):227-238.

4）试给出伪代码实现如下。

设待拟合的圆弧的圆心在(x0,y0)，半径为R，辐角按逆时针方向从θ1到θ2 (θ2>θ1)，于是有

β=0.0264731357562544,

t=tan[(θ2-θ1)/4],

λ=4t/3*(1-t^4/(1+t^2)*β),

xA=x0+R*cos(θ1),

yA=y0+R*sin(θ1),

xD=x0+R*cos(θ2),

yD=y0+R*sin(θ2),

xB=xA-λ*R*sin(θ1),

yB=yA+λ*R*cos(θ1),

xC=xD+λ*R*sin(θ2),

yC=yD-λ*R*cos(θ2).

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