一、相关系数概念

" 相关系数 " 英文名称是 " Correlation Coefficient " ;

相关系数 , 就是一个数 , 如下表述 :

假设 x(n)x(n)x(n) 和 y(n)y(n)y(n) 是两个能量有限的确定性信号 , 并且这 222 个序列具有因果性 , 则相关系数是 :

ρxy=∑n=0∞x(n)y∗(n)[∑n=0∞∣x(n)∣2∑n=0∞∣y(n)∣2]1/2\rho_{xy} = \cfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}x(n)y^*(n)}{ \Bigg[\sum\limits_{n=0}^{\infty} |x(n)|^2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} |y(n)|^2 \Bigg]^{1/2} }ρxy=[n=0∑∞∣x(n)∣2n=0∑∞∣y(n)∣2]1/2n=0∑∞x(n)y∗(n)

ρxy\rho_{xy}ρxy 就是 x(n)x(n)x(n) 和 y(n)y(n)y(n) 的相关系数 ;

二、相关系数概念解析

1、信号能量常数

∑n=0∞∣x(n)∣2\sum\limits_{n=0}^{\infty} |x(n)|^2n=0∑∞∣x(n)∣2 和 ∑n=0∞∣y(n)∣2\sum\limits_{n=0}^{\infty} |y(n)|^2n=0∑∞∣y(n)∣2 是信号的能量 , 两个序列都是能量有限的信号 , 其能量是固定的 , 这两个值也就是固定的常数值 ,

因此 ∑n=0∞∣x(n)∣2∑n=0∞∣y(n)∣2\sum\limits_{n=0}^{\infty} |x(n)|^2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} |y(n)|^2n=0∑∞∣x(n)∣2n=0∑∞∣y(n)∣2 是一个常数 ;

2、共轭序列

共轭说明 :

数字信号处理中 , 信号是复数 , 数字化之后 , 经过数字下变频 , 输出的就是复信号 , 因此这里使用共轭 ;

信号与系统中 , 信号是实数 , AD 采样之后是一个实信号 ;

3、序列在相同时刻的相关性

相关系数 ρxy\rho_{xy}ρxy 主要取决于分子中的 ∑n=0∞x(n)y∗(n)\sum\limits_{n=0}^{\infty}x(n)y^*(n)n=0∑∞x(n)y∗(n) , 其中 y∗(n)y^*(n)y∗(n) 是 y(n)y(n)y(n) 的共轭序列 ,

其物理含义是 x(n),y∗(n)x(n) , y^*(n)x(n),y∗(n) 这两个信号 , 在相同的时刻的相关性 ;

如果 x(n)=y(n)x(n) = y(n)x(n)=y(n) 则相关系数 ρxy=1\rho_{xy} = 1ρxy=1 ,

如果 x(n)≠y(n)x(n) \not= y(n)x(n)=y(n) 则相关系数 ρxy\rho_{xy}ρxy 取值在 [0,1)[0 , 1)[0,1) 区间内 ;

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