【计算理论】可判定性 ( 对角线方法 | 证明自然数集 N 与实数集 R 不存在一一对应关系 )
文章目录
- 一、对角线方法
- 二、证明自然数集 N 与实数集 R 不存在一一对应关系
- 三、对角线方法意义
一、对角线方法
数学上使用 对角线方法 证明了一个很重要的数学命题 , 自然数集 与 实数集 不是一一对应的 ;
1874 年 G.Cantor 使用对角线方法证明了上述命题 , 代表人类彻底掌握了无穷的运算 , 是现代数学的开端 ;
( 1874 年之前的数学称为 古典数学 )
二、证明自然数集 N 与实数集 R 不存在一一对应关系
证明过程 : N≠R\rm N \not=RN=R , 自然数集与实数集不存在一一对应 ;
证明的方法是 反证法 ;
假设 : 自然数集 N\rm NN 与 实数集 R\rm RR 之间 , 一定存在一一映射 ;
N\rm NN 可以进行一一枚举出来 , f(1),f(2),⋯,f(n)\rm f(1) , f(2) , \cdots , f(n)f(1),f(2),⋯,f(n) ,
f(n)\rm f(n)f(n) 对应的是实数 , 将其限制在 [0,1][0, 1][0,1] 区间内 ;
[0,1][0, 1][0,1] 之间的实数 , 与整个实数集 一定存在着一一对应关系的 ;
现在证明 自然数集 N\rm NN 与 [0,1][0, 1][0,1] 区间内的实数 , 不可能存在一一对应 ;
f(n)\rm f(n)f(n) 是一个 [0,1][0, 1][0,1] 区间内的实数 , 则可以写成
f(1)=0.a11a12a13a14⋯\rm f(1) = 0.a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}\cdotsf(1)=0.a11a12a13a14⋯ ,
f(2)=0.a21a22a23a24⋯\rm f(2) = 0.a_{21}a_{22}a_{23}a_{24}\cdotsf(2)=0.a21a22a23a24⋯
⋮\vdots⋮
f(n)=0.an1an2an3an4⋯ann\rm f(n) = 0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}a_{n4}\cdots a_{nn}f(n)=0.an1an2an3an4⋯ann
其中 a1ka_{1k}a1k 的值 ( k=1,2,3,4,⋯k = 1, 2,3,4, \cdotsk=1,2,3,4,⋯ ) 是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,90, 1, 2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中的一个数字 ;
假设存在一个 fff 是一一映射 , 从自然数集 到 [0,1][0, 1][0,1] 区间内的实数 之间的映射 ,
对角线上的值 a11,a22,⋯,anna_{11} , a_{22} , \cdots , a_{nn}a11,a22,⋯,ann ,
根据对角线上的值设计一个实数 b=b1b2b3⋯bnb = b_1b_2b_3\cdots b_nb=b1b2b3⋯bn
选择 b1b_1b1 一定不等于 a11a_{11}a11 ,
选择 b2b_2b2 一定不等于 a22a_{22}a22 ,
选择 bnb_nbn 一定不等于 anna_{nn}ann ;
如果 自然数集 N\rm NN 与 实数集 R\rm RR 是一一对应 , 那么 一定可以找到一个自然数 k\rm kk , 与实数 b=b1b2b3⋯bnb = b_1b_2b_3\cdots b_nb=b1b2b3⋯bn 一一对应 ;
实数 b=b1b2b3⋯bnb = b_1b_2b_3\cdots b_nb=b1b2b3⋯bn , 一定等于某个自然数 k\rm kk 对应的 f(k)\rm f(k)f(k) ;
现在得到了一个 矛盾 , 设计过程中 bk\rm b_kbk 肯定不等于 akk\rm a_{kk}akk , 而 f(k)\rm f(k)f(k) 的第 k\rm kk 个数值一定是 akk\rm a_{kk}akk , 因此这两个值 b=b1b2b3⋯bnb = b_1b_2b_3\cdots b_nb=b1b2b3⋯bn 与 f(k)\rm f(k)f(k) 不可能相等 ;
三、对角线方法意义
该证明的证明过程很简单 , 但是该证明在整个人类历史上是非常重要的一个证明 ;
它证明了 自然数的无穷 与 实数的无穷 是两种性质截然不同的无穷 ;
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