【数字信号处理】相关函数与线性卷积关系 ( 卷积概念 | 相关函数概念 | 相关函数与线性卷积对比 | x(-m) 共轭 与 y(m) 的卷积就是两个信号 位移 m 的相关函数 )
文章目录
- 总结
- 一、相关函数与线性卷积概念
- 1、卷积
- 卷积概念
- 卷积公式
- 2、相关函数
- 互相关函数
- 自相关函数
- 二、相关函数与线性卷积关系
- 1、相关函数与线性卷积对比
- 2、使用 卷积 推导 相关函数
- 3、使用 卷积 计算 互相关函数
- 4、使用 卷积 计算 自相关函数
总结
相关函数 与 卷积 在 数学上是有关系的 , 但是其物理意义不同 ;
- 卷积的物理意义 : 线性时不变系统 输入序列 , 输出序列 与 单位脉冲响应 h(n)h(n)h(n) 之间的关系 ;
- 相关函数 : 反应两个信号之间的关系 ;
可以使用 " 快速计算卷积 " 的方法 , 计算相关函数 ;
一、相关函数与线性卷积概念
1、卷积
卷积概念
对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,
假设 x(n)x(n)x(n) 是 LTI 系统的 " 输入序列 " , y(n)y(n)y(n) 是 " 输出序列 " ,
则有 :
y(n)=∑m=−∞+∞x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)y(n)=m=−∞∑+∞x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)
线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的
" 输出序列 "
等于
" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;
卷积公式
卷积公式如下 :
y(n)=x(n)∗h(n)=∑m=−∞+∞x(m)h(n−m)y(n) = x(n) * h(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m)y(n)=x(n)∗h(n)=m=−∞∑+∞x(m)h(n−m)
卷积具有交换律 :
y(n)=x(n)∗h(n)=h(n)∗x(n)=∑m=−∞+∞h(m)x(n−m)y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} h(m) x(n-m)y(n)=x(n)∗h(n)=h(n)∗x(n)=m=−∞∑+∞h(m)x(n−m)
2、相关函数
互相关函数
互相关函数 表示的是 两个不同的信号 之间的相关性 ;
x(n)x(n)x(n) 与 y(n)y(n)y(n) 的 " 互相关函数 " 如下 ,
rxy(m)=∑n=−∞+∞x∗(n)y(n+m)r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m)rxy(m)=n=−∞∑+∞x∗(n)y(n+m)
其中 y(n)y(n)y(n) 进行了移位 , 向左移动了 mmm 单位 ,
该 " 互相关函数 " 求的是 y(n)y(n)y(n) 移位 mmm 后的序列 与 x(n)x(n)x(n) 序列之间的关系 ;
注意这里的 nnn 表示的是时刻 , mmm 表示的是信号移动的间隔 ;
该 " 互相关函数 " 表示的是 x(n)x(n)x(n) 信号 , 与 隔了 mmm 时间后的 y(n)y(n)y(n) 信号之间的关系 ;
这 222 个信号 ( 序列 ) 之间 " 关系 " 是一个 函数 , 函数的自变量是 mmm 间隔 , 不是 nnn ;
自相关函数
自相关函数 ( Autocorrelation Function ) :
rxx(m)=∑n=−∞+∞x∗(n)x(n+m)=rx(m)r_{xx}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) x(n + m) = r_x(m)rxx(m)=n=−∞∑+∞x∗(n)x(n+m)=rx(m)
" 自相关函数 " 是 " 自己信号 " 与 " 隔一段时间后的 自己信号 " 之间的 相关性 ;
如果 m=0m = 0m=0 时 , " 自己信号 " 与 " 隔一段时间 mmm 后的自己信号 " 完全相等 , 该值就是 信号的能量 ;
rx(0)=∑n=−∞+∞∣x(n)∣2=Er_{x}(0) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)|^2= Erx(0)=n=−∞∑+∞∣x(n)∣2=E
二、相关函数与线性卷积关系
1、相关函数与线性卷积对比
卷积可以写为 :
g(n)=x(n)∗y(n)=∑m=−∞+∞x(m)y(n−m)g(n) = x(n) * y(n)= \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) y(n-m)g(n)=x(n)∗y(n)=m=−∞∑+∞x(m)y(n−m)
相关函数 :
rxy(m)=∑n=−∞+∞x∗(n)y(n+m)r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m)rxy(m)=n=−∞∑+∞x∗(n)y(n+m)
相关函数 与 卷积对比 :
- 加和式的范围都是 −∞-\infty−∞ ~ +∞+\infty+∞ ;
- x(n)x(n)x(n) 序列项的自变量不同 , 相关函数是 nnn , 卷积是 mmm ;
- x(n)x(n)x(n) 序列 相关函数取了共轭 , 卷积没有 ;
- y(n)y(n)y(n) 序列 相关函数的 自变量是 n+mn + mn+m , 卷积的自变量是 n−mn-mn−m ;
2、使用 卷积 推导 相关函数
x(−m)x(-m)x(−m) 的共轭 与 y(m)y(m)y(m) 的 卷积 计算 :
x∗(−m)∗y(m)=∑m=−∞+∞x∗(−n)y(m−n)x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(-n) y(m-n)x∗(−m)∗y(m)=m=−∞∑+∞x∗(−n)y(m−n)
令 −n=n′-n = n'−n=n′ , nnn 的范围还是 −∞-\infty−∞ ~ +∞+\infty+∞ ,
使用 n=−n′n = -n'n=−n′ 替换 nnn , 带入到上面的卷积式子中 ,
x∗(−m)∗y(m)=∑m=−∞+∞x∗(−(−n′))y(m−(−n′))x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(- (-n')) y(m-(-n'))x∗(−m)∗y(m)=m=−∞∑+∞x∗(−(−n′))y(m−(−n′))
x∗(−m)∗y(m)=∑m=−∞+∞x∗(n′)y(m+n′)=rxy(m)x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(n') y(m + n') = r_{xy}(m)x∗(−m)∗y(m)=m=−∞∑+∞x∗(n′)y(m+n′)=rxy(m)
最终计算出来的结果就是 rxy(m)r_{xy}(m)rxy(m) 互相关函数 ;
3、使用 卷积 计算 互相关函数
使用 卷积 计算 互相关函数 :
rxy(m)=x∗(−m)∗y(m)r_{xy}(m) = x^*(-m) * y(m)rxy(m)=x∗(−m)∗y(m)
4、使用 卷积 计算 自相关函数
使用 卷积 计算 自相关函数 :
rx(m)=x∗(−m)∗x(m)r_{x}(m) = x^*(-m) * x(m)rx(m)=x∗(−m)∗x(m)
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