四个子空间

行空间，零空间是是Rn的子空间

列空间，转置矩阵的零空间是Rm的子空间

Rx的x取决于向量分量数

（将列空间和转置矩阵的零空间看成对原矩阵的行进行操作）

四个子空间关系：

矩阵A的列空间等于转置矩阵AT的行空间，矩阵的行的零空间（行线性组合为0的解向量组成的空间）就是转置矩阵的零空间。

矩阵的行等于转置矩阵的列

四空间的维度：

1.A的列向量空间=行向量空间维度=r

原因：秩r=主行数=主列数=基底向量数=行列空间维度

主行数是行向量空间基底，主列是列向量基底

行向量基底数=列向量基底数，所以行列向量空间维度相同

2.AT的零空间维度是n-r AT的零空间（left nullspace）维度是m-r

理解：A的总变量数是n，AT的总变量是m

3.行空间维度加零空间维度等于Rn的空间维度

列空间维度+零空间维度=n=解的分量数

行空间维度+转置矩阵零空间维度=m=解的分量数

（Rx的x取决于向量分量数）

转置对解的影响

Ax=0则xTAT=0T 或者说ATx=0；xTA=0T

解左移且转置，0向量也转置

空间与基底

行空间基底就是主行，列空间基底是主列，零空间基底是n-r个特解，转置矩阵零空间基底是m-r个特解。

RT的列空间就是R的行空间，每行乘一个系数的再进行组合的结果为0，系数就是它的解

因此已知特解数，r 和m（或n）知2求3

注意：C（A）！=C（R）

但两者有一样的r和基底

？

用线点连线图表示关联矩阵（incidence matrix）：

节点数表示m，边数表示n

可以通过矢量原则看出主元主列（教材在此处未展开）

1r的矩阵可以等于u*vT：

u和vT都是r=1

2r的矩阵可以看作1r的矩阵加1r的矩阵

将A=CR

C[u1 u2 u3 ...un]

A=row1*u1+row2*u2+....=a1+a2+...

rown为矩阵R中的n行，an为rank=1的矩阵

(矩阵乘法中的右边是竖的，左边是横的相乘.)

总结：课本的内容大多都是对一样事物反复从不同的角度的讲，实际上最重要的是红色标注那一条，其余都可以推出来。

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