线代引论:chapter4:正交(垂直)(orthogonality)
1.引入:向量的垂直
1.v·w=vTw=0
2.||v||^2+||w||^2=||v+w||^2
注意:和高中的写法另有不同,1中的0是常数0不是向量,给出的点积的另外一种书写形式
2.绝对值用||v||双竖线
3.零向量和零向量垂直
2.子空间的正交:行空间和零空间正交
向量空间正交的定义:向量空间S1内所有的向量正交于另一向量空间的所有向量S2,有S1和S2正交。
1.S1和S2可以相同维度的子空间(向量分量相同)
2.两个向量空间的交集只能有一个点,就是向量都为0时。
行空间和零空间正交:
原因:row1*x=0 row2*x=0....
行空间任意向量*x都为0
同理:列空间和转置矩阵的零空间正交
(一个矩阵的列空间可以看成它转置矩阵的行空间)
正交互补:两个子空间正交,且维度相加等于向量空间维度
补充:子空间维度等于基底向量个数,向量空间维度就是向量分量个数
翻译:两个子向量的基底组合可以表示这个向量空间的所有向量。(覆盖整个向量空间了)
1. 行空间和零空间正交互补在向量空间Rn中,列空间和转置矩阵的零空间正交互补(在向量空间Rm中)
2.Ax=b;A是m*n的矩阵 ,x在向量空间Rn当中。
x可以用xn(零空间向量)+xr(行空间向量)来表示
理解:我终于知道为什么完全解是x=xn+xp
xp就是xr,使得Ax=b的一个解
矩阵的作用......
3.使得Axr=b中xr是唯一的
4.xr体现了由行变量组合变为列变量组合的转变
说明A中藏着一个可逆矩阵r*r
n独立个向量充要于组成空间Rn,他们是基底
正交互补的子空间的向量基底本身线性独立且相互也是独立的
证明独立:如果Ax=0,证明有唯一解x=0
xn+xr=0,xn*xr=0,所以:xn=xr=0
因为内部独立,所以系数只能为都为0,唯一解就是0
复习:向量基底=独立=产生空间
矩阵向量独立 Ax=0,有唯一解x=0,
Ax=b有唯一解,可解,A矩阵可逆
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