幼儿园：从斐波那契数列开始

这是通往幼儿园的车，佬请主动下车右转！

引子

深度优先搜索

从记忆化搜索到动态规划

滚动数组优化

尾声

引子

很久很久以前，我们的小斐波那契养了一对小兔子，哦，这两只贪吃的小兔子在某个阳光明媚的早晨，不小心吃了一株基因突变的大白菜而发生了基因突变，于是乎这两只小兔子及其后代获得了以下能力：
1、永生
2、繁殖周期固定，且一次繁殖只能生出一对小兔子，与此同时小兔子出生后的第一周期不具备繁殖能力

也就是说第一周期小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；第二周期生下一对小兔于是共有两对小兔；第三周期老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对……
小斐波那契因为没有作业，闲的没事干，于是开始无聊地数兔子，他发现，兔子对数按周期数呈这样一个数列：1、1、2、3、5……聪明的小斐波那契自然也发现了数列的规律：前面相邻两项之和，构成了后一项。小斐波那契十分高兴，他决定将数列用自己的名字命名，于是乎著名的“斐波那契数列”诞生了，它具有以下美妙而简单的性质：
1、 $a_{n}+a_{n+1}=a_{n+2}$
2、 $\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

深度优先搜索

一不小心小斐波那契到了上高中的年纪，他的小兔子在家里生了一窝又一窝，每次回到家小斐波那契都很苦恼：因为兔子繁殖的速度超过了他学算数的速度，他已经数不清自己家里有多少对兔子了，但是他还记得小兔子已经繁殖了多少周期，他想请你教教他，算算自己家里究竟有了多少对兔子，这决定着小兔子们的死活——究竟是被吃掉，还是被吃掉。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dfs(int x){if(x==1) return 1;else if(x==2) return 1;return dfs(x-1)+dfs(x-2);
}
int main(){int n;scanf("%d",&n);printf("%d",dfs(n));return 0;
}

小斐波那契十分高兴，因为算出来的结果显示小斐波那契的家足够容纳更多的小兔子，所以他决定暂时不吃掉这些小兔子，直到有一天——

从记忆化搜索到动态规划

小斐波那契发现输入繁殖周期后，自己的电脑计算小兔子的数量需要很久，经过细细推敲，小斐波那契发现重复的、多余的搜索占用了大量的时间，比如：

小斐波那契不想让这些重复的搜索占用自己和兔兔玩耍的时间，他决定更新你的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int a[N];
int dfs(int x){if(x==1) return 1;else if(x==2) return 1;if(!a[x]) a[x]=dfs(x-1)+dfs(x-2);return a[x];
}
int main(){memset(a,0,sizeof(a));int n;scanf("%d",&n);printf("%d",dfs(n));return 0;
}

这样子小斐波那契就不用花很多时间在电脑前等结果，而是有很多多余的时间和小兔子玩耍了，不过小斐波那契依然觉得自己的代码不够精简，于是又思考了两天，代码3.0出炉了：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,a[N];
int main(){memset(a,0,sizeof(a));a[1]=1;a[2]=1;scanf("%d",&n);for(int i=3;i<=n;i++) a[i]=a[i-1]+a[i-2];printf("%d",a[n]);return 0;
}

滚动数组优化

经过两次优化，小斐波那契对3.0代码十分满意，不过，追求十全十美的小斐波那契仍然觉得代码有一定的优化空间，譬如……空间复杂度？

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[5];
int main(){memset(a,0,sizeof(a));a[1]=1;a[2]=1;scanf("%d",&n);for(int i=3;i<=n;i++){a[3]=a[1]+a[2];a[1]=a[2];a[2]=a[3];}printf("%d",a[3]);return 0;
}

尾声

萧炎和纳兰家的三年之约如期而至又过了三年，小斐波那契从高中毕业啦，小兔子也繁殖了六十个周期，毕竟人到了18岁，就不能过得像个小孩子，小斐波那契决定忍痛杀死自己那养了三年的1548008755920只小兔子，请全世界人民吃烤全兔，那么你觉得平均每个人能分到多少多少只兔子呢？