凸集之对偶锥和对偶广义不等式

1.对偶锥（Dual cones）
设K是一个圆锥体。集合

被称为K的对偶锥。正如顾名思义的，K∗是一个锥，并且总是凸的，即使原始的锥K不是凸的。

几何上，y∈K∗当且仅当−y是在原点处支持K的超平面的法线。

左图，向内法向y的半空间包含圆锥体K，所以y∈K∗。
右图，向内法向z的半空间不包含K，所以z∉K∗。

对偶锥满足几个性质，例如：
①K∗是封闭的和凸的；
②K1⊆K2意味着K2∗⊆K1∗；
③如果K的内部为非空，则K∗是指向的；
④如果K的闭合是指向的，那么K∗的内部是非空的。
⑤K∗∗是K的凸包的闭包。(因此，如果K是凸的和闭的，则K∗∗=K)。

2.对偶广义不等式（Dual generalized inequalities）
现在假设凸锥K是适当的，所以它导出了一个广义不等式K。然后它的对偶锥K∗也是适当的，从而导出了一个广义不等式。我们将广义不等式

称为广义不等式的对偶。
关于广义不等式及其对偶性的一些重要性质是：
①

②

3.对偶不等式中的最小元素与极小元素（Minimum and minimal elements via dual inequalities）
我们可以利用对偶广义不等式来刻画一个（可能是非凸的）集S⊆Rm的最小值和最小元素。

最小元素的对偶特征
我们首先考虑最小元素的特征：x是S的最小元素，对于广义不等式K，当且仅当对于所有λ≻K∗0，x是z∈S.几何上λTz的唯一最小化器，这意味着对于任何λ≻K∗0，超平面

是一个严格的支持超平面。(严格表示的支持超平面，我们的意思是，超平面只在x点处与S相交。)请注意，不需要集合S的凸性。

如图所示，最小元素的双重特征。点x是集合S相对于R2+的最小元素。这相当于：对于每个λ≻0，超平面{z|λT(z−x)=0}严格支持S，即一边包含S，只在x触摸它。

最小元素的对偶性
现在我们转向最小元素的一个类似的表征。在这里，在充要条件之间存在着差距。如果λ≻K∗0和x将λTz比z∈S最小化，那么x是最小的。

如图所示，集合S⊆R2。相对于R2+，它的最小点集，显示为它的（左下）边界的较暗的部分。

S上的λT1z的最小值是x1，并且自λ1≻0以来是最小值。S上的λT2z的最小值是x2，这是S的另一个最小点，因为λ2≻0。

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