不等式()

用不等号将2个剖析式连结起來所成的式子。比如2x+2y≥2xy，sinx≤1，ex＞

0 ，2x＜3等 。

依据剖析式的归类也可对不等式归类，不等号两侧的剖析式都是代数式的不等式，称之为解析几何不等式；只须有一边是超出式，就称之为超出不等式。比如lg(1+x)＞x是超出不等式。

一般不等式中的数是实数，字母也象征实数，不等式的一般方式为F(x，y，……

，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等号也能为＜，≥，＞ 中某一个)，两侧的剖析式的公共定义域称之为不等式的定义域，不等式既能够表现一个出题，也能表明一个问题。

不等式的最基础性质有:①假如x＞y，那麼y＜x；假如y＜x，那麼x＞y；②假如x＞y，y＞z；那麼x＞z；③假如x＞y，而z为任何实数，那麼x+z＞y+z；④ 假如x＞y，z＞0，那麼xz＞yz；⑤假如x＞y，z＜0，那麼xz＜yz。

由不等式的基本性质考虑，通过推理，可论证大量的初等不等式，这其中比较著名的有:

柯西不等式:关于2n个任何实数x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，恒有(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≤(x12+x22+…+xn2)(y12+y22+…+yn2)。

排列不等式:关于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任何一个排序，记S＝x1yn+x2yn-1+…+xny1，M＝x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L＝x1y1+x2y2+…+xnyn，那麼恒有S≤M≤L。

依据不等式的基本性质，也能推出解不等式可遵从的一些同解原理。关键的有:①不等式F(x)＜ G(x)和不等式 G(x)＞F(x)同解。②假如不等式F(x) ＜ G(x)的定义域被剖析式H( x )的定义域所包括，那麼不等式 F(x)＜G(x)和不等式F(x)+H(x)＜G(x)+H(x)同解。③假如不等式F(x)＜G(x) 的定义域被剖析式H(x)的定义域所包括，并且H(x)＞0，那麼不等式F(x)＜G(x)和不等式H(x)F(x)＜H( x )G(x) 同解；假如H(x)＜0，那麼不等式F(x)＜G(x)和不等式H (x)F(x)＞H(x)G(x)同解。④不等式F(x)G(x)＞0和不等式同解；不等式F(x)G(x)＜0和不等式同解。

不等式分成严厉不等式和非严厉不等式。一般地，用单纯的超过号、低于号“＞”“＜”联接的不等式称之为严厉不等式，用不小于号(超过或者相当于号)、不大于号(低于或者相当于号)

“≥”“≤”联接的不等式称之为非严厉不等式，或者称广义不等式。

在一个式子中的数的关系,不都是等号,含不等标记的式子，那它便是一个不等式.

例如:甲超过乙(甲>乙),便是一个不等式.不等式未必仅有「>」,「0,即A>B.又同理可证:A>C,A>D.因此,A最大.

不等式是不包含等号以内的式子例如:(不等号 大于等于号，低于相当于号)只得用这些号放到式子里便是不等式咯．．

1.标记:

不等式两侧都乘以或者除以一个负数，要改变不等号的方向。

2.确定解集:

比2个值都大，就比大的还大；

比2个值都小，就比小的还小；

比大的大，比小的小，无解；

比小的大，比大的小，有解在之间。

三个或者三个以上不等式构成的不等式组，可类推。

3.另外，也能在数轴上确定解集:

把每一个不等式的解集在数轴上表明出来，数轴上的点把数轴分为几个段，假如数轴的某一段上边表明解集的线的条数和不等式的个数一样，那麼这一段便是不等式组的解集。有几个就要几个。

1.不等式的基本性质:

性质1:假如a>b,b>c,那麼a>c(不等式的传达性).

性质2:假如a>b,那麼a+c>b+c(不等式的可加性).

性质3:假如a>b,c>0,那麼ac>bc;假如a>b,c<0,那麼acb,c>d,那麼a+c>b+d.

性质5:假如a>b>0,c>d>0,那麼ac>bd.

性质6:假如a>b>0,n∈N,n>1,那麼an>bn,且.

性质7:假如a>相当于b c>b 那麼c大于等于a

例1:判定以下出题的真伪,并说明原因.

若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)

若,则a>b;(真)

若a>b且ab<0,则;(假)

若a若,则a>b;(真)

若|a|b2;(充要条件)

出题A:a出题A:,出题B:0说明:本题要求学生完成一种标准的证实或者答题过程,在健全答题标准的过程中健全自己思维的严密性.

a,b∈R且a>b,比较a3-b3和ab2-a2b的大小.(≥)

说明:强调在最后一步中,说明等号取到的状况,为日后基础不等式求最值做逻辑思维准备.

例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn和an-1b+abn-1的大小.

说明:本例条件是a>b,与恰逢不等式乘方性质相比在于缺乏了a,b为恰逢这个条件,因此我们必需对a,b的取值状况加以归类讨论.因为a>b,可由三种状况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.从而得到总会有an+bn>an-1b+abn-1.根据本例可以开始渗入归类讨论的数学科目思维

几个关键不等式(二)柯西不等式

，在且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号

柯西不等式的几类变形方式

1.设aiÎR,bi>

0 (i=1,2,…,n)则，在且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号

2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，在且仅当b1=b2=…=bn时取等

三、排列不等式

设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排序，则有:

a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn

反序与£乱序与£同序和

例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3和a2b+b2c+c2a的大小

解:取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a

例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/，则有

证实:取两组数a1,a2,…,an；

其反序和为，原不等式的左侧为乱序和，有

例3.已知a,b,cÎR+求证:

证实:何不设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0

例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排序，求证:

证实:设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排序，且b1

c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排序,且c1

则且b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1；c1£2,c2£3,…,cn-1£n

运用排列不等式有:

例5.设a,b,cÎR+,求证:

证实:何不设a³b³c,则，a2³b2³c2>0

由排列不等式有:

两式相加得

又因为:a3³b3³c3>0,

两式相加得

例6.切比雪不等式:若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则

a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则

证实:由排列不等式有:

a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2

…………………………………………

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1

将以上式子相加得:

n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)

1.不等式的基本性质:

性质1:假如a>b,b>c,那麼a>c(不等式的传达性).

性质2:假如a>b,那麼a+c>b+c(不等式的可加性).

性质3:假如a>b,c>0,那麼ac>bc;假如a>b,c<0,那麼acb,c>d,那麼a+c>b+d.

性质5:假如a>b>0,c>d>0,那麼ac>bd.

性质6:假如a>b>0,n∈N,n>1,那麼an>bn,且.

例1:判定以下出题的真伪,并说明原因.

若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)

若,则a>b;(真)

若a>b且ab<0,则;(假)

若a若,则a>b;(真)

若|a|b2;(充要条件)

出题A:a出题A:,出题B:0说明:本题要求学生完成一种标准的证实或者答题过程,在健全答题标准的过程中健全自己思维的严密性.

a,b∈R且a>b,比较a3-b3和ab2-a2b的大小.(≥)

说明:强调在最后一步中,说明等号取到的状况,为日后基础不等式求最值做逻辑思维准备.

例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn和an-1b+abn-1的大小.

说明:本例条件是a>b,与恰逢不等式乘方性质相比在于缺乏了a,b为恰逢这个条件,因此我们必需对a,b的取值状况加以归类讨论.因为a>b,可由三种状况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.从而得到总会有an+bn>an-1b+abn-1.根据本例可以开始渗入归类讨论的数学科目思维.

不等式归类:

柯西不等式

排列不等式

契比雪夫不等式

琴生不等式

平均不等式