文章目录

逻辑代数基础
一、逻辑代数基本公式和常用公式
- 几种复合逻辑运算
- 基本公式
- 常用公式
二、基本定理
- 代入定理
- 反演定理
三、逻辑函数及其表示方法
- 逻辑函数定义
- - 表达方式
- 逻辑函数的两种标准形式
- - 最小项之和
  - 最大项之积
- 逻辑函数的化简
- - 逻辑函数的最简形式
  - 无关项
- 计算机化简

逻辑代数基础

学习目的：基本逻辑运算；基本公式、表示方法；逻辑函数化简

数字电子技术依赖的逻辑代数是不变的，但是实现方式不一定是半导体器件，只能说现阶段是半导体器件，我们现在学习的是以半导体器件实现的数字电路。

三种逻辑运算方式：与或非

当现实的物理对象要在逻辑世界，逻辑代数中描述时，要做的第一件事就是编码，如果采用的编码方式不一样，你得到的逻辑关系不一定和别人一样。

任何一个逻辑函数，一定能表达成逻辑运算，逻辑运算中，只要变量的个数是确定的，变量的所有取值可能是有限的。遍历所有可能就是真值表。

一、逻辑代数基本公式和常用公式

几种复合逻辑运算

与、或、非、与非、或非、与或非、异或、同或

异或：A’B+AB’，两个不一样是1，两个一样是0
同或：AB+A’B’，两个不一样是0，两个一样是1

基本公式

(AB)’ = A’ + B’
A + BC = (A + B)(A + C)
(A + B)’ = A’B’
…(其他都能一眼看出来)

推导公式2：
(A + B)(A + C) = A + AB + AC +BC = A(1 + B + C) +BC = A + BC
公式1和3（摩根定理），推不出来，只能列真值表

常用公式

A + AB = A
A + A’B = A + B
AB + AB’ = A
A(A + B) = A
AB + A’C +BC =AB +A’C；AB + A’C + BCD = AB + A’C
A(AB)’ = AB’；A’(AB)’ = A’

在逻辑式中，如果有原变量，有反变量，那么除了原变量反变量剩余的两项的与可以去掉，公式5（推演：将BC变成ABC+A’BC，都被前面吸收了）
公式6用摩根公式证明

二、基本定理

代入定理

代入定理：在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立（也就是说在逻辑运算中某一个变量都可以是其他变量运算的结果）
代入定理非常重要，描述的是数字电路设计的根本理念之一
高度集成化保证稳定的原因是0，1的传递是清晰的，最后都落在0，1上
代入定理这个A以其他逻辑式来实现的时候，可以实现分层和接口的设计（分层要把每一层的复杂度都降到一定程度，你的变量在这层仅仅是一个变量，但是到下一层，他从别的地方来的时候，他可能是一个复杂的逻辑运算；同样，接口能够简化也是这个原因，接口的标准化，使接口能够传输的数和能够确定的数就那么几个，那这个变量从哪来，基本概念都是代入定理来的）
代入定理例子：摩根定理(AB)’ = A’ + B’，以BC代入B，根据代入定理可以推导出(ABC)’ = A’ + (BC)’ = A’ + B’ + C’（代入定理：1是我们设计思想的原则，2：它可以将我们前面的定理千变万化）

反演定理

对于任一逻辑式，求Y => Y’，只需要" * => + “，” + => * “，” 1 => 0 “，” 0 => 1 “，” 原变量 => 反变量 " ，''反变量 => 原变量"
举例：Y = A(B + C) + CD => Y’ = (A’ + B’C’)(C’ + D’) = A’C’ + B’C’ +A’D’ + B’C’D’ (化简)
逻辑代数有意义，对数字电路实现意义不大

三、逻辑函数及其表示方法

逻辑函数定义

以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之改变，输入/输出之间是一种函数关系（在二值逻辑当中，输入输出都只有0或1）

表达方式

真值表
逻辑式（抽象度最高，表达最简洁）
逻辑图（与电路对应关系最好）
波形图（最容易观测）
卡诺图
EDA中的硬件描述语言
（各种表示方式之间可以相互转换，可以理解为同一种逻辑关系在不同情境下的编码方式）
真值表：输入的影响是加一个表就double，输出的影响是加一个只加一列
波形图：在观测完整的前提下（几个变量来判断多少种叫完整），由输入判断输出，只需要找输出为1的时候，列下来就可以了，如果输出为1的时候太长可以写输出为0的表示然后取反
真值表到逻辑式：只需要找输出为1的时候，列下来相加就可以了，如果输出为1的时候太长可以写输出为0的表示然后取反
逻辑式到真值表：穷举就行了（做之前最好先把逻辑式整理一下，要是能少一个变量，真值表就会少一半）

逻辑函数的两种标准形式

最小项之和
最大项之积

最小项之和

最小项m：

m是乘积项
包含n个因子
n个变量都以原变量或反变量的形式在m中出现一次（对于n个变量函数，有2的n次方个最小项）
举例：两个逻辑变量A,B的最小项：A’B’,A’B,AB’,AB（2的2次方，4个）

每个最小项都对应真值表一行，所以任何一个逻辑函数都可以写成某几个最小项之和（如果某个逻辑函数包含所有最小项，那么他的值为1，因为所有行都是1）

最小项性质：

在输入变量取任一值，有且仅有一个最小项的值为1
全体最小项之和等于1
任何两个最小项之积为0
两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公因子（相邻：进一个变量不同的最小项）
注意理解最小项标号（取1的情况）

最大项之积

最小项M：

M是乘加项
包含n个因子
n个变量都以原变量或反变量的形式在M中出现一次
注意理解最大项标号（取0的情况）
最大项与最小项的标号互补，加起来等于全部项

逻辑函数的化简

没有最好的表达形式，只有最合适的。

逻辑函数的最简形式

最简与或：包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与或逻辑式。

公式化简法（需要大量的经验累积和经验，电路较小时的手工化简方法，揭示化简最根本的原理是相加，吸收，合并，体会出化简的意义所在，把一个复杂的逻辑简化，而便于我们的实现）
卡诺图化简法：

实质：将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表现出来
逻辑的相邻变成几何的相邻
由于希望只有平面相邻的原因，五变量以上的卡诺图化简手工中用的很少了
合并最小项原则：两个相邻的最小项可以合并为一项，消去一对因子；四个排成矩形的相邻最小项可以合并为一项，消去两对因子；八个相邻，消三个
化简结果不唯一
一个函数含有9个1，就一定能化简（最多3*3）
有n个变量，一个最简与或式能含的最小乘积项是2的n-1次方个

无关项

约束项：取值不可能发生
任意项：输入变量的某些取值下，函数值为0或1，都不影响逻辑电路的功能，这些最小项叫任意项

加入无关项帮助化简
关于无关项的应用，永远是设计人员基于物理背景下的应用

计算机化简

QM法等

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