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组合数学部分：

基础公式：

定义:从n个不同的元素中, 取r个并按次序排列, 称为从n中取r个的一个排列, 全部这样的排列数记为P(n, r).

$P(n,r)=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)=\frac{n!}{ (n-r)!}$

定义: 从n个不同的元素中, 取r个但是不考虑次序时候, 称为从n中取r个的一个组合, 全部这样的组合总数记为C(n, r).

$C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!} =\frac{n!}{(n-r)!r !}$

定义: 从n个不同的元素中, 取r个沿一圆周排列, 称为从n中取r个的一个圆周排列, 全部这样的排列数记为Q(n, r).

$Q{(n,r)}=\frac{P(n,r)}{r}$

牛顿二项式公式：

$（1+x）^n = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kx^k$

$（1+ax）^n = \sum_{k=0}^∞C_{n}^ka^kx^k$

推广牛顿二项式公式:

$（1+x）^{-n} = \sum_{k=0}^∞C_{-n}^kx^k$

$C_{-n}^k ={(-1)}^kC_{n+k-1}^k$

${(1+x)}^{-n} = \sum_{k=0}^∞{(-1)}^kC_{n+k-1}^kx^k$

${(1-x)}^{-n} = \sum_{k=0}^∞C_{n+k-1}^kx^k , -1<x<1$

常用公式：

$（1-x）^{\frac{1}{2} } = 1-{\frac{1}{2} }x-{\frac{1}{8} }x^2-{\frac{1}{16} }x^3-{\frac{1}{128} }x^4-...-{\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} }x^k-..., -1\leq x\leq 1$

第二类Stirling数

有以下性质(用于等价关系划分个数计算)：

;

$S(n,2)=2^{n-1}-1$ ;

;

多重集合的一个r组合，

$S=\{ ∞\cdot 1,∞\cdot 2, ...,∞\cdot k\}$ ，则这个序列个数等于S的r组合个数为

$C_{（r+k-1,r)}$ ,用一一对应的方法来做。

母函数与递归关系：

设多重集

$S=\{ ∞\cdot a_{1},∞\cdot a_{2}, ...,∞\cdot a_{k}\}$ , 则的 r-(可重)排列数是

定理：设

$S=\{ n_{1}\cdot a_{1}, n_{2}\cdot a_{2}, ..., n_{k}\cdot a_{k}\}$ ，且

$n=\sum_{i=1}^kn_{i}$ ,则S的排列数等于

$\frac{n!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot ...\cdot n_{k}!}$

定义: 利用给定序列

$a_{0},a_{1},a_{2} ,…$ 所构造的函数

$F(x)= a_{0} +a_{1}x+a_{2}x^2+…$

称为序列

$a_{0},a_{1},a_{2} ,…$ 的母函数

母函数的运算

设序列

$\{a_{i} \}$ 的母函数

$A(x)=\sum_{k=0}^i a_{k} x^k$ ,

$\{b_{i} \}$ 的母函数为

$B(x)=\sum_{k=0}^i b_{k} x^k$ . 运算定义如下:

(1) 相等:A(x)=B(x) <=>

$\{a_{i} \}$ =

$\{b_{i} \}$ <=>

$a_{i}$ =

$b_{i}$ , i=1,2,…

(2) 相加: A(x)+B(x)=

$\sum_{k=0}^i( a_{k}+b_{k}) x^k$

(3) 相减: A(x)-B(x)=

$\sum_{k=0}^i( a_{k}-b_{k}) x^k$

(4) 数乘: cA(x)=

$\sum_{k=0}^ic a_{k} x^k$

(5) 相乘: A(x)B(x)=

$\sum_{k=0}^ic_{k}x^k$ , 其中

$c_{0}$ =

$a_{0} b_{0}$ ,

$c_{1}$ =

$a_{0} b_{1} +a_{1} b_{0}$

$c_{2}$ =

$a_{0} b_{2} +a_{1} b_{1} +a_{2} b_{0} ,...............,$

$c_{r}$ =

$a_{0} b_{r} +a_{1} b_{r-1} +...+a_{r} b_{0} ,...........$

(6) 逆: 如果A(x)B(x)=1, 则称B(x)为A(x)的逆, 记为B(x)=

$A^{-1}(x)$ =

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 +...$

一元二次方程的根的通解：

$x = \frac{ -b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a }$

常系数齐次递归关系：

$H_{n}- a_{1}H_{n-1}- a_{2}H_{n-2}-...- a_{r}H_{n-r} = 0$

如

$a_{r}\neq 0$ ，则递归关系上式为一元

次方程，即

次特征方程如下：

$x^r- a_{1}x^{r-1}- a_{2}x^{r-2}-...- a_{r-1}x-a_{r} = 0$

设

$q_{i}$ (i=1,2,...)为特征方程的根，则有：

如果

$q_{i}$ 为不同实数根则

$H_{n}$ 的一般解如下：

$H_{n}=c_{1}q_{1}^n + c_{2}q_{2}^n +...+c_{r}q_{r}^n$

如果

$q_{i}$ 为i个重复特征根则

$H_{n}$ 的一般解如下：

$H_{n}=（c_{1} + c_{2}n + c_{3}n^2 ...+c_{{e_{i}}}n^{e_{i}-1}）q_{i}^n$

当特征方程为二次方程，

$q_{1}$ 和

$q_{2}$ 是特征方程的，当

$q_{1} \neq q_{2}$ 时，

$H_{n}=b_{1}q_{1}^n+b_{2}q_{2}^n$ ，当

$q_{1}=q_{2}=q$ (重根)，则

$H_{n}=(b_{1}+b_{2}n)q^n$ 。

仅有两个复特征根：

当特征根为复数时，则有任意复数

都可以写成

$ce^{id}$ ,故可设两个复数特征根如下：

$\alpha _{1} = \delta + i\omega = \rho e^{i\theta } = \rho (\cos \theta + i\sin \theta )$

$\alpha _{1} = \delta - i\omega = \rho e^{-i\theta } = \rho (\cos \theta - i\sin \theta )$

其中

$\rho = \sqrt{\delta ^2 + \omega ^2}$

图论：

欧拉公式：

$R+V-E =2, R\geq 2$ ，R为区域，V为顶点，E为边。

一个无向图

$G_{(V,E)}$ 是连通图，那么E的数目大于等于顶点的数目减1，即

$|E|\geq |V| -1$ 。

完全二部图的定义：设G=(V，E)为二分图，V=XUY，且X中的任一顶点与Y中每一个顶点均有且仅有唯一的一条边相连，则称G为完全二部图或完全偶图。

【定理一】图G是2-可着色的当且仅当G是二部图。

【定理二】奇圈和奇数阶轮图都是3-色图，而偶数阶轮图都是4-色图。

【定理三】树的着色数为2。

离散数学部分：

蕴含条件：

P是Q的充分条件时用：

$P \rightarrow Q$

一般词汇：(如果P那么Q，只要P就Q，P就Q)

Q是P的必要条件时用：

$Q \rightarrow P$

一般词汇：(只有P才Q，仅当P才Q，Q仅当P)

Q是P的充分且必要条件时用：

$Q \leftrightarrow P$

一般词汇：(当且仅当，充分且必要)

等价公式：

$P \rightarrow Q \Leftrightarrow ┐P \lor Q$

$P \leftrightarrow Q \Leftrightarrow (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow P)$

$P \leftrightarrow Q \Leftrightarrow (┐P \leftrightarrow ┐Q)$

$P \leftrightarrow Q \Leftrightarrow (P \land Q) \lor (┐Q \land ┐P)$

推理定律：

$A \Rightarrow （A \lor B）$ (附加)

$（A \land B） \implies A$ (化简)

$((A \rightarrow B) \land A) \implies B$ (假言推理)

主析取范式：

$A_{1} \lor A_{2} \lor A_{3} \lor ... \lor A_{n}$ 其中

$A_{i}$ 是包含所有变元且该变元有且仅出现一次的合取式，称为小项。有n个变元，则有

。

主合取范式：

$A_{1} \land A_{2} \land A_{3} \land ... \land A_{n}$ 其中

$A_{i}$ 是包含所有变元且该变元有且仅出现一次的析取式，称为大项。有n个变元，则有

。

集合论：

幂集定义：

$P(A) = \{x | x \subseteq A \}$ 即全部子集。实例：

$P(∅) = \{∅\}$ ,

$P(\{∅\}) = \{∅,\{∅\}\}$ ，计数：如果|A|=n，则|P(A)| =

【定理】非空集合S关于它上面的任何等价关系R的商集具有下列特点：S/R ≠ ∅；若A∈S/R，则A ≠ ∅；若A，B∈S/R，A≠B，则A∩B = ∅.

【定义】设A为非空集合，若存在A的一个子集族

满足：

$∅ \notin A ^ `；\cup A ^ ` = A；\forall x,y \in A ^ ` \land x\neq y \rightarrow x \cap y = ∅$ , 则称

是A的一个划分，

中元素称为划分块。

【定理】设

$<A , \preceq >$ 为一个偏序集，若A的最长链的长度为n，则A存在n个划分块的划分，每个块都是反链。

关于对称差特性：A⊕A=∅，∅⊕A=A⊕∅=A

群的定义：一个非空集合G中如果定义了一个“乘法”运算，满足：

(1) 封闭性：

$\forall a,b \in G, a \times b = c \in G;$

(2)结合律：

$\forall a,b,c \in G, a \times (b \times c) = (a \times b) \times c;$

(3)有单位元：

$\exists e \in G, \exists a \in G, e \times a = a \times e = a ;$

(4)每个元

有逆元

$a^{-1}$ ：

$a \times a ^{-1} = a ^ {-1} \times a = e$ ，则称

为一个群。

函数部分：

设 |A| =n，|B|=m, 一般说来A到B共有

$2^{mn}$ 个二元关系，A上共有

$2^{m^2}$ 个二元关系，该知识点可以用0，1矩阵来理解在，m*n的矩阵中有m*n个0和1不同的组合，其总数为

$2^{mn}$ 种。

【定义】设F为二元关系，若对任意的

$x \in dom F$ 都存在唯一的

$y \in ran F$ 使得

成立，则称

为函数。

【定义】设是

集合，如果函数

满足以下条件：

(1)

(2)

$ran f \subseteq B$

则称

是从

到

的函数，记作

$f : A \rightarrow B$

【定义】设函数

$f : A \rightarrow B.$

(1)若

(值域=B)，则称

是满射的。

(2)若对于任何的

$x_1,x_2 \in A ,x_1 \neq x_2 ,都有 f(x_1) \neq f(x_2)$ ,则称

是单射的。

(3)若

既是满射的，又是单射的，则称

是双射的。

举例说明：

$f:\{ 1,2 \} \rightarrow \{0\}, f(1) = f(2) = 0$ ,

是满射的，但不是单射的。

$f: N \rightarrow N,f(x) = 2x$ 是单射的，但不是满射，

不包含奇数。

$f: Z \rightarrow Z, f(x) = x+1$ 是双射的。

1.当

时，

$A \rightarrow B$ 中不含满射，从而不含双射函数；当

$n \leq m$ 时，

$A \rightarrow B$ 中共含

个不同的单射函数；

2.当

时，

$A\rightarrow B$ 中含有

个双射函数；

3.当

时，

$A \rightarrow B$ 中不含单射函数，从而不含双射函数。

添加学习笔记：

牛顿二项式

推广牛顿二项式

组合基础

第二类斯特林公式

路径数问题

母函数

递推关系1

递推关系2

非齐次递推关系

整数拆分

可无限重复发码问题

指数型母函数

图论欧拉公式

r阶差分

容斥原理1

容斥原理2

错排问题

棋盘多项式

鸽笼原理

图论定义1

图论定义2

图论定义3

四色定理

树与图

Ramsey数

离散推理公式

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