现代信号处理——AR模型谱估计

AR谱估计方法可归结为求解AR模型系数或线性预测器系数的问题。

AR模型参数估计方法：信号预测误差最小原则（或预测误差功率最小)

自相关法（Levison递推法）

Burg法

协方差法

修正协方差法(前后向线性预测最小二乘法)

一、AR的Yule-Walker方法

由高斯白噪声的性质可得：

因此

m=0,...,p，m取一个值对应一个方程

写为矩阵的形式即可得Yule-Walker方程为：

二、AR模型与线性预测的等效性

如果AR模型的参数与预测模型的系数相同，则预测误差为白噪声w(n)。

He(z)系统将任意的输入信号转换成白噪声输出，因此该系统称为白化滤波器

预测均方误差(误差平方的均值)为

预测系数可以由预测均方误差最小获得，即

三、自相关法—Levinson-Durbin递推

估计方法：自相关法的出发点是选择AR模型的参数使预测误差功率最小；采用Levison-Durbin递推方法求解Yule-Walker方程得到AR模型参数。

假设信号x(n)的数据区间在0≤n≤N-1范围，有P个预测系数，N个数据经过冲激响应为 $a_{pi}$ (i=0,1,2,….,P)的滤波器，输出预测误差e(n)的长度为N+P，因此应用下式计算：

预测误差功率最小，得到

AR模型的各个系数以及模型输入白噪声方差求出后，信号功率谱用下式计算：

性能分析：该方法需要基于有限的观测数据估计自相关序列，当数据长度较短时，估计误差会比较大，AR参数的计算就会引入很大的误差。从而导致功率谱估计出现谱线分裂与谱峰频率偏移等现象。自相关估计的准确，则AR模型功率谱估计准确，而自相关估计的准确性取决于样本数据的长短。

四、伯格(Burg)递推法

类似于前向预测误差，后向预测误差也有递推公式：

在输入信号平稳的条件下，格型预测误差滤波器前后各级的输出误差是正交的，因此全局最优可由各级局部最优来等效。

基于反射系数Kp，由Levinson-Durbin递推关系求AR模型参数 $a_{k}$ 和 $\sigma _{w}^{2}$ ，进而求得功率谱Pxx 。

性能分析：该方法避免了采用有限数据估计自相关函数的计算，适合短序列参数估计，克服了L-D递推中的某些缺点，计算量小。

但对正弦信号的谱估计，仍存在某些谱线分裂与频率偏移现象。

五、协方差法与修正协方差法

1、协方差法

估计方法：利用使预测误差功率最小的方法求模型参数

该公式中使用的观测数据均已得到，不需要在数据两端补充零点，因此比较自相关法去掉了加窗处理的不合理假设。

性能分析：上述协方差矩阵不具备对称性，无法采用递推算法计算；适用于非平稳信号；一些实验结果说明它的分辨率优于自相关法，另外对于纯正弦信号数据，可以有效地估计正弦信号的频率。

2、修正协方差法(前后向线性预测最小二乘法)

估计方法：修正协方差法使用前向和后向预测误差平均值最小的方法，估计AR模型的参数，进而估计信号的功率谱。

性能分析：该方法虽然与协方差方法的形式相同，但数据量增加了一倍，对于处理长度较短的数据有利；该方法要求信号在正反方向具有相同的特性，如正弦信号；该方法也适用于非平稳信号。

几种方法的比较：

自相关法可以用Levinson递推算法，运算量小，但分辨率受窗长度的限制；

Burg算法，可用改进的Levinson递推算法，分辨率高，但对正弦信号存在谱线分裂和偏移现象；

协方差法，去除了自相关法加窗处理的不合理假设，分辨率高，运算量较大；

修正协方差法，分辨率高，在谱线分裂和偏移上较Burg法有较大改善，运算量大。

例：已知信号的四个观察数据为x(n)={x(0)，x(1)，x(2)，x(3)}={2,4,1,3}，分别用自相关法和协方差法估计AR（1)模型参数。

参考视频：

https://www.bilibili.com/video/BV1wS4y1D7ng?p=6&vd_source=77c874a500ef21df351103560dada737

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