漫步最优化十九—

想你的夜晚，\textbf{想你的夜晚，}
我在屋顶做着一个梦。\textbf{我在屋顶做着一个梦。}
我和你拥抱在明亮的月光下，\textbf{我和你拥抱在明亮的月光下，}
动人的旋律环绕在我俩身边。\textbf{动人的旋律环绕在我俩身边。}
开始纠结是否要醒来，\textbf{开始纠结是否要醒来，}
因为梦里有你而更美。\textbf{因为梦里有你而更美。}
——畅宝宝的傻逼哥哥\qquad\textbf{——畅宝宝的傻逼哥哥}

前面的文章中，我们提到了点到点算法的连续性，而点到点以及点到集合算法有个更加一般的性质：封闭性，对于点到点算法，这个性质就弱化为连续性。

定义1：\textbf{定义1：}

对于从空间XX到空间X1X_1的点到集合算法A，如果假设

xk→x̂ for xk∈Xxk+1→x1^for xk+1∈A(xk)

\begin{align*} \textbf{x}_k\to\hat{\textbf{x}}\quad for\ \textbf{x}_k\in X\\ \textbf{x}_{k+1}\to\hat{\textbf{x}_1}\quad for\ \textbf{x}_{k+1}\in A(\textbf{x}_k) \end{align*}

意味着

x1^∈A(x̂ )

\hat{\textbf{x}_1}\in A(\hat{\textbf{x}})

那么称算法在点x̂ ∈X\hat{\textbf{x}}\in X处封闭。其中符号xk→x̂ \textbf{x}_k\to\hat{\textbf{x}}表示序列{xk}∞k=1\{\textbf{x}_k\}_{k=1}^{\infty}收敛到极限x̂ \hat{\textbf{x}}

对于点到集合算法A，如果对X中的每个点都是封闭的，那么称算法在X上封闭。

这个定义如图1所示，如果x̂ ,x1^\hat{\textbf{x}},\hat{\textbf{x}_1}之间存在实线，那么称算法A在点x̂ \hat{\textbf{x}}处封闭，如果对所有x̂ ∈X\hat{\textbf{x}}\in X都存在实线，那么A在X上封闭。

例1：\textbf{例1：}算法A定义为

xk+1=A(xk)={12(xk+2)14xkfor xk>1for xk≤1

x_{k+1}=A(x_k)= \begin{cases} \frac{1}{2}(x_k+2)&for\ x_k>1\\ \frac{1}{4}x_k&for\ x_k\leq 1 \end{cases}

如图2所示，说明算法在x̂ =1\hat{x}=1处不封闭。

解：\textbf{解：}令序列{xk}∞k\{x_k\}_k^{\infty}为

xk=1+12k+1

x_k=1+\frac{1}{2^{k+1}}

由此得到的序列为

{xk}∞k=0={1.5,1.25,1.125,…,1}

\{x_k\}_{k=0}^{\infty}=\{1.5,1.25,1.125,\ldots,1\}

因此

xk→x̂ =1

x_k\to\hat{x}=1

图1

对应的序列{xk+1}∞k=0\{x_{k+1}\}_{k=0}^{\infty}为

xk+1=A(xk)=12(xk+2)

x_{k+1}=A(x_k)=\frac{1}{2}(x_k+2)

所以

{xk+1}∞k=0={1.75,1.625,1.5625,…,1.5}

\{x_{k+1}\}_{k=0}^{\infty}=\{1.75,1.625,1.5625,\ldots,1.5\}

所以

xk+1→x̂ 1=1.5

x_{k+1}\to\hat{x}_1=1.5

接下来

A(x̂ )=14

A(\hat{x})=\frac{1}{4}

且因为x̂ 1=1.5\hat{x}_1=1.5，我们有

x̂ 1≠A(x̂ )

\hat{x}_1\neq A(\hat{x})

故A在x̂ =1\hat{x}=1处不封闭。这个问题是由于A(xk)A(x_k)在xk=1x_k=1处不连续造成的。

图2

例2：\textbf{例2：}算法A定义为

xk+1=A(xk)=x2kfor −∞<xk<∞

x_{k+1}=A(x_k)=x_k^2\quad for\ -\infty

说明AA是封闭的。

解：\textbf{解：}令{xk}\{x_k\}是收敛到x̂ \hat{x}的序列，例xk→x̂ x_k\to\hat{x}，那么{xk+1}={A(xk)}={x2k}\{x_{k+1}\}=\{A(x_k)\}=\{x_k^2\}是收敛到x̂ 2\hat{x}^2的序列，例x2k→x̂ 1=x̂ 2x_k^2\to\hat{x}_1=\hat{x}^2。因为x̂ 1=A(x̂ )\hat{x}_1=A(\hat{x})，所以我们可以得出对所有的x̂ ,−∞<x̂ <∞\hat{x},-\infty，A是封闭的。

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