用Python解决一个简单的数论问题—

考虑一个简单的数论问题，当 x 是正整数，如果可以表示为 x=a^2+b^2，让我们去求出 a 和 b 的值。显然用计算机暴力循环 x 次求解是一种可行的办法，但是当 x 为一个较大的数时，我们要浪费很多时间，因此可以改进一下我们计算方法。

可以分析到，x要是能表示为 x=K*L ，且当 K=m^2+n^2 , L=p^2+q^2。那么

x=(m^2+n^2)*(p^2+q^2)=(mp)^2+(nq)^+(mq)^2+(np)^2

=(mp+nq)^2+(mq-np)^2 【或者(mp-nq)^2+(mq+np)^2】

= a^2 + b^2

很自然地看出，我们这么做的目的就是把 x 的分解变成两个较小的因数 K，L 的分解，再组合出 x 的分解。理论上我们可以一直分解下去，直到因素不能再分解为 s^2+t^2 的形式。但是我的代码水平实在是不想再写一个循环（如果你感兴趣的话可以再搞一搞）

话不多说，我写的代码如下（如果你感兴趣可以继续改进）：

import numpy as np
import timestart =time.time()def a2b2(x):##定义分解函数，其实已经可以解决较小数值的分解list1 = []for i in range(1,int(np.sqrt(x))+1):if int(np.sqrt(x-i**2))==np.sqrt(x-i**2) and int(np.sqrt(x-i**2))>i:line=i,int(np.sqrt(x-i**2))list1.append(line)a2b2=np.array(list1)return a2b2if __name__=='__main__':x = int(input('x='))print('x=',x)y = int(np.sqrt(x))print('a^2 + b^2 =', x, '找到以下解组：')print()list2 = []size = np.size(list2) / 2for i in range(y, -1, -1):##寻找靠近根号x的因数if i > 2 and x % i == 0:line = i, x / ilist2.append(line)size = int(np.size(list2) / 2)if size > 0:breakab = np.array(list2, dtype=int)##因数的分解list3 = []a = ab[int(size - 1), 0]b = ab[int(size - 1), 1]a1 = a2b2(a)sizea = np.size(a1) / 2b1 = a2b2(b)sizeb = np.size(b1) / 2for j in range(0, int(sizea)): ##把因数的分解组合为x的分解for k in range(0, int(sizeb)):s1 = a1[j, 0] * b1[k, 0] + a1[j, 1] * b1[k, 1]t1 = np.abs(a1[j, 0] * b1[k, 1] - a1[j, 1] * b1[k, 0])if t1>s1:l=s1s1=t1t1=ls2 = np.abs(a1[j, 0] * b1[k, 0] - a1[j, 1] * b1[k, 1])t2 = a1[j, 0] * b1[k, 1] + a1[j, 1] * b1[k, 0]if t2>s2:l=s2s2=t2t2=lline = s2, t2list3.append(line)line=s1, t1list3.append(line)list3.sort(key=lambda x: (x[1]))st = np.array(list3)sizest = np.size(st)num=0k=0for i in range(int(sizest/4)):##表示输出z=st[k, 1] ** 2 + st[k, 0] ** 2print('\033[0;33;32m %s^2 +\033[0m ' % st[k, 1],'\033[0;33;32m %s^2 =\033[0m' % st[k, 0],'\033[0;33;32m %s\033[0m' % z)num+=1if st[k, 0]!=st[k+1, 0] and st[k, 1]!=st[k+1, 1]:print('\033[0;33;32m %s^2 +\033[0m ' % st[k+1, 1],'\033[0;33;32m %s^2 =\033[0m' % st[k+1, 0],'\033[0;33;32m %s\033[0m' % (st[k+1, 1] ** 2 + st[k+1, 0] ** 2))num += 1k+=2if num>0:print('\033[0;33;32m一共有%s组解\033[0m'%num)else:print('\033[0;33;32m没有合适的解组\033[0m')end = time.time()
print()
print()
print('Running time: %s Seconds'%(end-start))

到这里就解决了，赶紧输入一个数找它的分解吧，来试试看！

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