单摆运动过程的matlabsimulink建模与仿真.doc

1单摆运动过程的MATLA2周期与摆球质量无关3单摆振动的周期与摆长有关单摆周期的平方与摆长成正比以上结论是在理想条件下得到的结论,现对这个理想条件下的单摆进行分析与仿真,将仿真结果与以上结论进行对比验证1理想模式下单摆的数学模型首先根据理想条件,摆线质量忽略不计,空气阻力忽略不计设摆线长度为L,摆球质量为M,重力加速度为G,系统的初始时刻为T0,在任意T≥0时刻摆球的线速度为VT,角速度为ΩT,角位移T,以单摆的固定位置为坐标原点建立直角坐标系,水平方向为X轴方向示意图如下所示在T时刻，摆锤所受切向力FTT是重力MG在其运动圆弧切线方向上的分力，即TMGSINT完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为ATGSINT因此得到单摆的运动微分方程组GSINT1DTV22LTVTDT使用欧拉算法求解将DVTVTDTVT和DTTDTT代入式(1)及式(2)中，并以仿真步进量Δ作为DT的近似，得到基于时间的递推方程VTΔVTGSINTΔ(3)TΔTΔ(4)L注本递推方程仅适合于摆角,也就是要求无论初始速度多少,摆角的最大2幅度不能超过90度,如果超过90度比并且初始速度为0时放手小球会自由下落一段时间才能摆动,本递推方程无法描述据此编写仿真程序在MALAB命令窗口输入以下命令DT00001仿真步进T16仿真时间长度T0DTT仿真计算时间序列G98L15TH015初始摆角设置,不能超过Π/2,即要求球摆动开始时绳子就要有拉力,如果初始摆角超过Π/2,则球会经过一阵自由落体后才能进行摆动,上面的递推方程不能满足该情形V00初始摆速设置VZEROSSIZET程序存储变量预先初始化，可提高执行速度THZEROSSIZETV1V0TH1TH0FORI1LENGTHT仿真求解开始VI1VIGSINTHIDTTHI1THI1/LVIDTEND使用双坐标系统来作图AX,B1,B2PLOTYYT,V1LENGTHT,T,TH1LENGTHT, PLOT SETB1, LINESTYLE , 设置图线型SETB2, LINESTYLE , SETGETAX1, YLABEL , STRING , 线速度VTM/S 作标注SETGETAX2, YLABEL , STRING , 角位移\THT/RAD XLABEL 时间T/S 3LEGENDB1, 线速度VT ,2LEGENDB2, 角位移\THT ,1在以上假设条件下得到仿真图形如下在其他条件不变的情况下,仅仅改变细线的长度L3,再次进行仿真,仿真图象如下对比两幅图象可以看出,在理想条件下,同样摆角下,单摆的摆臂变化,影响单摆的最大线速度以及单摆的周期,当摆臂增加时,最大线速度增加,同时单摆的周期也增加此结论正好与最初单摆理想条件下的试验结论一致实际情况中,当摆幅很小0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力FTFZ产生，根据牛顿第二运动定律，有ATGSINTMKV因此得到修正后的单摆运动微分方程组GSINT(5)DTV(6)L仍然使用欧拉算法求解将DVTVTDTVT和DTTDTT代入式(5)及式(6)中，并以仿真步进量Δ作为DT的近似，得到基于时间的递推方程VTΔVTGSINTΔMKTΔTΔL据此编写仿真程序5在MALAB命令窗口输入以下命令SUBPLOT2,1,1DT00001仿真步进T16仿真时间长度T0DTT仿真计算时间序列G98L15M8K3TH015初始摆角设置,不能超过Π/2V00初始摆速设置VZEROSSIZET程序存储变量预先初始化，可提高执行速度THZEROSSIZETV1V0TH1TH0FORI1LENGTHT仿真求解开始VI1VIGSINTHIK/MVIDTTHI1THI1/LVIDTEND使用双坐标系统来作图AX,B1,B2PLOTYYT,V1LENGTHT,T,TH1LENGTHT, PLOT SETB1, LINESTYLE , 设置图线型SETB2, LINESTYLE , SETGETAX1, YLABEL , STRING , 线速度VTM/S 作标注SETGETAX2, YLABEL , STRING , 角位移\THT/RAD XLABEL 时间T/S LEGENDB1, 线速度VT ,2LEGENDB2, 角位移\THT ,1其它条件不变,令阻力比例系数K15,将两次仿真的图形放在一起,结果如下6其它条件不变,令阻力比例系数K0,将将两次仿真的图形放在一起,结果如下由上图可以看出,在理想状态下,当线速度最大的时候,角位移为0,当线速度为0时角位移最大,两个同时发生没有滞后非理想状态下,角位移与线速度0值和最大值发生会有一定的延迟,这是由于各方面阻力综合原因造成的3理想条件下特殊摆动的数学模型这里所说的特殊摆动,指的是在理想条件下,的情况下,摆球有一个很大的初始速度,可以使摆球围绕悬点不停的旋转垂直方向,重力能够起到作用,此时已经不能称之为单摆了,但是在理想条件下,小球的转动依然符合一定的规律,先对其进行数学物理分析,再进行MATLAB仿真理力学原理的分析同理想状态下的单摆分析完全一样,只是单摆是来回摆动,而此时是围绕悬点来回旋转,摆动的时候角位移是在一个范围内变化,而旋转的情况下角位移是不停的增加的,如果时间无限长,则角位移无线长,图象显示就是一条上升的曲线,没有很直观的感受,因此我们只考虑线速度的变化规律基于时间的递推方程依然如下7VTΔVTGSINTΔMKVTΔTΔL只是在MATLAB仿真中不需要图象显示角位移的图象,仅仅显示线速度V的图象就好MATLAB仿真程序如下DT00001仿真步进T16仿真时间长度T0DTT仿真计算时间序列G98L15M8K0空气阻力比例系数TH0PI初始摆角设置V010初始摆速设置VZEROSSIZET程序存储变量预先初始化，可提高执行速度THZEROSSIZETV1V0TH1TH0FORI1LENGTHT仿真求解开始VI1VIGSINTHIK/MVIDTTHI1THI1/LVIDTENDPLOTT,V1LENGTHTXLABEL 时间T/S YLABEL 线速度VT 仿真图象如下所示8由上图可以看出，单摆围绕悬点做圆周运动，速度在最高点的时候最低，在最低点的时候最大，现在验证最大速度值带入仿真初始值V010GLV420MAXG98L15从而得出,与仿真结果明显一致。612MAXV由此还可以引出许多特殊情形,比如用硬制木棍代替细摆线,力学原理就发生了很大的改变,仿真的曲线也会有所不同4使用SIMULINK重新仿真理想模式下的单摆运动本次仿真以单变量建立微分方程,用示波器观察的变化情况由之前的分析易知道有单摆回复力,而单摆的切向加速度SINMGF22DTLTASINI22LGDTT上式为一个二阶非线性常微分方程为了便于比较,将所有参数设置的与之前一致,也就是G98,L15,初始,则0,510T56SIMULINK模型模块如下所示9模块搭建好后,进行参数设置,积分器INTEGR