AcWing 1017 怪盗基德的滑翔翼

题目描述：

怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。

而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。

初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。

他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。

因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。

他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。

请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

输入格式

输入数据第一行是一个整数K，代表有K组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h，按照建筑的排列顺序给出。

输出格式

对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。

数据范围

1≤K≤100,
1≤N≤100,
0<h<10000

输入样例：

3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10

输出样例：

6
6
9

分析：

从本题起进入到最长上升子序列模型，LIS问题动态规划解法见AcWing 895 最长上升子序列，贪心+二分解法见AcWing 896 最长上升子序列 II。

本题题意是说一排建筑高低不同，怪盗基德可以选择其中任意一个建筑作为起点，朝一个方向向高度低的建筑物滑翔，求其能经过的建筑物的最大数量。而普通的LIS问题相当于在一排建筑中找一个建筑作为起点，然后向左滑翔的最大长度，也就是说，本题相当于对一个线性序列正向和逆向求最长下降子序列长度。可以注意到逆向的最长下降子序列相当于正向的最长上升子序列，正向的最长下降子序列相当于逆向的最长上升子序列，所以本题简化为一句话就是正向和逆向分别求LIS长度，找出二者中的较大值。

方法一：

使用动态规划求LIS，f[i]表示以a[i]为末字符的最长上升子序列长度，状态转移方程为f[i] = max(f[k]) + 1,k < i且a[k] < a[i]。求完f数组后，最后LIS的长度等于f数组中的最大者。从左往右遍历序列求得的LIS长度为len1，从右往左遍历求得的LIS长度为len2，本题要求的能够滑翔的最大长度为max(len1,len2)。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 105;
int a[N],f[N];
int main(){int n,T;cin>>T;while(T--){cin>>n;for(int i = 1;i <= n;i++)   cin>>a[i];int res = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){f[i] = 1;for(int j = 1;j < i;j++){if(a[j]<a[i])   f[i] = max(f[i],f[j]+1);}res = max(res,f[i]);}for(int i = n;i >= 1;i--){f[i] = 1;for(int j = n;j > i;j--){if(a[j]<a[i])   f[i] = max(f[i],f[j]+1);}res = max(res,f[i]);}cout<<res<<endl;}return 0;
}

方法二：

贪心+二分求解LIS。长度为len的上升子序列我们只需要保存其中末字符最小的那一串，也就是说，我们只需要找到长度为1,2,3，...的上升子序列的末字符是什么就可以延伸LIS的长度了。之前LIS问题中已经证明了，存放各个长度上升子序列末字符的数组是单调递增的。我们只需要构造出该数组，构造完成后该数组的长度就是LIS的长度。构造f数组的过程可以描述为：在遍历序列的过程中查找f数组中小于当前遍历元素a[i]的最大元素的位置，并将a[i]放到该位置的后一个位置即可。

二分就是要在f数组中找到小于a[i]的最大数的位置l，所以f[mid] < a[i]时，l = mid；否则r = mid - 1，这是为了最终二分终止时l == r，即r的最终位置等于l，都是处于小于a[i]的位置，所以当f[mid] >= a[i]时，r应该等于mid - 1。注意r恰好比l大1时，如果mid = l + r >> 1，则mid = l，若此时f[l] < a[i]，则l = mid = l，会导致l与r始终无法重合，故mid设置为l + r + 1 >> 1，即（l + r） / 2的上取整，mid的值等于r时，r总会减小，所以循环必会终止。下面二分代码还有个巧妙的地方在于len = 0时，l == r，此时f[l + 1] = f[1] = a[1]，即跳过了f[0]直接为f数组中上升子序列长度为1的末字符赋值。

#include<iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=105;
int a[N],f[N];
int main(){int n,T;cin>>T;while(T--){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];int l,r,len=0,res = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){l = 0,r = len;while(l < r){int mid = l + r  + 1>> 1;if(f[mid] < a[i])   l = mid;else    r = mid - 1;} len = max(len,l + 1);f[l + 1] = a[i];}res = len,len = 0;for(int i=n;i>=1;i--){l = 0,r = len;while(l < r){int mid = l + r  + 1>> 1;if(f[mid] < a[i])   l = mid;else    r = mid - 1;} len = max(len,l + 1);f[l + 1] = a[i];}res = max(res,len);cout<<res<<endl;}
}

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