线性代数1.3行列式的按行展开
1.3按行展开
余子式
去掉行列式指定元素所在行,所在列,剩下的元素按原来的方式排列,得到的行列式就是余子式,记作M
M32是因为2这个元素原本在第三行第二列
代数余子式
代数余子式跟余子式类似,但是差别在于,代数余子式多了符号,-1的系数与行列之和有关
按行展开
行列式按某一行(列)展开,等于每一行(列)对应的元素乘以对应(自己)的代数余子式之和
例如:下面的行列式按照第一行展开,等于下面三个代数余子式相加,为了方便计算,肯定展开
异乘变零定理
某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和 = 0
拉普拉斯展开定理
k阶子式:如下面那个行列式为例,若要取这两行的二阶子式则任取两行两列,重叠的地方称为2阶子式
k阶子式的余子式:如下面那个行列式为例,没有被画到线的地方就叫k阶子式的余子式
k阶子式的代数余子式:与上相比,仍是多了符号,-1的指数来自取的第几行第几列,如下面取的是第一行和第二行,第一列和第二列,所以是1+2+1+2
拉普拉斯展开定理
去掉k行,由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和 = D
因为只确定了行,没有确定列,所以取法有很多,在某些条件下,拉普拉斯展开定理比较好用,如下
相乘规则
与矩阵相乘类似,但两个不同阶的行列式相乘也是能算出来的,因为行列式本身就是一个数,数与数相乘一定能算出来,不同阶的行列式分别算出这两数再相乘就好了
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