二阶三阶行列式

二阶行列式

二阶行列式：两行两列，四个元素，用 aija_{ij}aij 表示，其中 iii 表示行标，jjj 表示列标。
左上角到右下角为主对角线，左下角到右上角为次对角线；
行列式的值为主对角线上的值相乘减去次对角线相乘的值。

三阶行列式

三阶行列式：三行三列，九个元素，表示为：

排列与逆序数

排列

排列：由 1,2,3,...,n1, 2, 3, ... , n1,2,3,...,n 组成的一个有序数组叫做 nnn 级排列。
e.g.e.g.e.g.
124512451245 不为排列，缺少数333；
312312312为一个三级排列；
nnn级排列共有 n!n!n! 种排列方法。

逆序

逆序：大数排在小数的前面，e.g.e.g.e.g. 比如 312312312 中 333 排在 111 前面，333 排在 222 前面，构成逆序；

逆序数：逆序的个数，e.g.e.g.e.g. 在 312312312 中，存在两个逆序，所以逆序数为 N(312)=2N(312)=2N(312)=2。
e.g.e.g.e.g. N(n(n−1)...321)=n(n−1)2N(n(n-1)...321)=\frac {n(n-1)} 2N(n(n−1)...321)=2n(n−1)

奇排列与偶排列

若逆序数为偶数，则为偶排列；若逆序数为奇数，则为奇排列。

自然排列/标准排列

N(123...n)=0N(123...n)=0N(123...n)=0 为标准排列，又称为自然排列。

对换

交换排列中两个数的位置，称为一次对换。
e.g.e.g.e.g. 排列 541235412354123 一次对换后 542135421354213；对换的两个数可以任意不同位置对换。

性质：一个排列经过一次对换，奇偶性改变。
e.g.e.g.e.g. N(54123)=4+3+0+0+0=7N(54123)=4+3+0+0+0=7N(54123)=4+3+0+0+0=7 一次对换后 N(51423)=4+0+2+0+0=6N(51423)=4+0+2+0+0=6N(51423)=4+0+2+0+0=6，从奇排列变为偶排列。

n阶行列式

按行展开

按行展开：行标取标准排列，列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出3个元素相乘。符号由列标排列的奇偶性决定的。

e.g.e.g.e.g. 三阶行列式按行展开

按列展开

按列展开：列标取标准排列，行标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘。符号由行标排列的奇偶性决定的。
D=∑i1i2...in(−1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainnD=\sum_{i_1i_2...i_n} (-1)^{N(i_1i_2...i_n)}a_{i_11} a_{i_22} ... a_{i_nn}D=i1i2...in∑(−1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainn

既不按行也不按列展开

从不同行不同列取出，具有通用性。
D=∑(−1)N(i1i2...in)+N(j1j2...jn)ai1j1ai2j2...ainjnD=\sum (-1)^{N(i_1i_2...i_n)+N(j_1j_2...j_n)}a_{i_1j_1} a_{i_2j_2} ... a_{i_nj_n}D=∑(−1)N(i1i2...in)+N(j1j2...jn)ai1j1ai2j2...ainjn
e.g.e.g.e.g. (−1)N(i21m)+N(1k32)ai1a2ka13am2(-1)^{N(i21m)+N(1k32)}a_{i1}a_{2k}a_{13}a_{m2}(−1)N(i21m)+N(1k32)ai1a2ka13am2，求 i,k,mi,k,mi,k,m 的值
由排列性质得：k=4k=4k=4 且 i=3,m=4i=3,m=4i=3,m=4 或 i=4,m=3i=4,m=3i=4,m=3

上三角与下三角行列式

上三角行列式

下三角行列式

对角形行列式

以上内容为线性代数第一部分行列式的基本概念
下一节内容为：行列式的性质
2022.10.29 星期六

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