光纤布拉格光栅(FBG)笔记【2】：反射率

引言

本文是光纤布拉格光栅（FBG）的笔记【2】，主要介绍了光纤布拉格光栅的反射率。

光纤布拉格光栅纤芯的平均折射率是n0n_0n0，光栅结构周期为Λ\LambdaΛ（折射率周期性变化故而称为光栅），沿光纤轴向的折射率可以表示为：

n(z)=n0+Δncos(2πzΛ)n(z)=n_0+\Delta ncos(\frac{2\pi z}{\Lambda})n(z)=n0+Δncos(Λ2πz)

式中
Δn\Delta nΔn：折射率扰动的大小（典型值为10−5∼10−310^{-5}\sim10^{-3}10−5∼10−3）；
zzz：沿光纤轴向的位移。

对于一定调制深度和周期的光栅，其反射率可以表示为：

R(l,λ)=Ω2sinh2(sl)Δk2sinh2(sl)+s2cosh2(sl)R(l,\lambda)=\frac{\Omega^2sinh^2(sl)}{\Delta k^2sinh^2(sl)+s^2cosh^2(sl)}R(l,λ)=Δk2sinh2(sl)+s2cosh2(sl)Ω2sinh2(sl)

式中
R(l,λ)R(l,\lambda)R(l,λ)：为光栅长度lll和波长λ\lambdaλ组成的反射率函数；
Ω\OmegaΩ为耦合系数；
Δk=k−π/λ\Delta k=k-\pi/\lambdaΔk=k−π/λ为失谐量矢量，k=2πn0/λk=2\pi n_0/\lambdak=2πn0/λ为传播常数；
此外s2=Ω2−Δk2s^2=\Omega^2-\Delta k^2s2=Ω2−Δk2。

从式中可以看出，如果光栅的长度lll增加如、折射率改变量Δn\Delta nΔn增加，反射率R(l,λ)R(l,\lambda)R(l,λ)也会随之增加。如果沿着光纤轴向折射率的扰动呈正弦变化，则耦合系数Ω\OmegaΩ可以表示为：

Ω=πΔnλMp\Omega=\frac{\pi\Delta n}{\lambda}M_pΩ=λπΔnMp

式中
MpM_pMp：纤芯导模的能量，由于光栅是被均匀地写入纤芯，MpM_pMp可以近似为1−V21-V^21−V2，VVV是光纤的归一化频率，V=(2π/λ)a(nco2−ncl2)1/2V=(2\pi/\lambda)a(n_{co}^2-n_{cl}^2)^{1/2}V=(2π/λ)a(nco2−ncl2)1/2，aaa为纤芯直径，ncon_{co}nco和cclc_{cl}ccl分别为纤芯与包层折射率。

在光纤布拉格光栅的中心波长处，没有波矢量失谐，Δk=0\Delta k=0Δk=0，反射率的表达式变为：

R(l,λ)=tanh2(Ωl)R(l,\lambda)=tanh^2(\Omega l)R(l,λ)=tanh2(Ωl)

反射光谱和波长的关系由下图给出：

光栅的最大带宽瓣宽度可以近似表示为：

Δλ=λBs(Δn2n0)2+(1N)2\Delta \lambda=\lambda_Bs\sqrt{(\frac{\Delta n}{2n_0})^2+(\frac{1}{N})^2}Δλ=λBs(2n0Δn)2+(N1)2

式中
NNN：光栅平面的数量
sss：取决于光栅反射率的大小，如果反射率为100%，sss约等于1，如果反射率较小，sss约等于0.5

参考文献：

[1]饶云江王义平.光纤光栅原理及应用[M].北京:科学出版社,2006:136-137.

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