MATLAB-光纤光栅-均匀光纤布拉格光栅模式耦合方程及求解与仿真

1 普遍的耦合模方程及说明

普遍的耦合模方程可由麦克斯韦方程组推导得出：

(1)

(2)

其中，表示横向（及光纤截面方向），表示纵向（及光纤传播方向），为模式序数。和为模式的前向（沿z方向）和后向（沿-z方向）传输的横向模场分量的幅值；和为模式的前向和后向传输的横向模场分量的幅值;和为模式和的传播常数，，，为真空中的波数，为波长，为有效折射率，和分别是模式和之间的横向和纵向分量的耦合系数。和分别为：

（3）

（4）

其中，为光波的角频率；和分别为模式和的电场横向矢量分量；为光波导中由于扰动引起的介电常数改变量，，为未受扰动时的折射率，为折射率改变量。比小得多，通常可以忽略。式（1）和式（2）为普遍的耦合模方程，大多数情况下，可以得以简化。

2 均匀光纤布拉格光栅耦合模方程及求解

均匀光纤布拉格光栅（FBG）的图示如下：

图1 均匀布拉格光栅示意图

光纤布拉格光栅使沿z轴传播的纤芯模和沿-z轴方向传播的纤芯模产生耦合。耦合模方程为：

（5）

（6）

其中，；前行模和后行模的自耦合系数相等，统一记为。

紫外光刻写的均匀正弦光纤布拉格光栅，折射率该变量为：

（7）

其中为光栅的周期，为折射率调制的缓变包络，通常称为切趾或切趾函数。实际制作的光栅的折射率分布接近方波分布，这里相当于只取傅里叶展开的第一项。折射率改变量：

(8)

其中。

将折射率该变量（8）式带入横向耦合系数（3）式，得到：

（9）

其中：

（10）

这里，，和分别为真空中磁导率和介电常数；当下标相同时，为自耦合系数，不同时为互耦合系数；表示有效折射率该变量，反映折射率调制深度，定义为：

（11）

可以看出当波长一定，折射率调制深度越大，耦合系数越大。对于均匀光纤光栅，只有纤芯模间的耦合，对单模光纤，。把带入耦合模方程（5）和（6）并利用欧拉公式，会出现项。在耦合模方程中，只有当指数项为0时才会出现强耦合，因此只取指数项会为0的项，得到简化后的耦合模方程：

(12)

(13)

其中：

起主要作用的是第二项，自耦合系数可以忽略，得到：

(14)

(15)

设栅区分布在0~L，将（14）和（15）式化为两个二阶常微分方程，取边界条件时，；时，，可以得到方程的解和，解方程过程下一篇讲述。

当时，

（16）

（17）

其中，。对一般情况可以取，，则得到均匀光纤布拉格光栅的反射率和透射率：

（18）

（19）

当时，

(20)

(21)

(22)

(23)

均匀光纤布拉格光栅中的两个模为相反方向传输的纤芯模，相位匹配条件为，则：

(24)

利用则可以将（24）式写为：

(25)

3 均匀光纤布拉格光栅反射谱和透射谱的MATLAB数值仿真

根据(18)、(19)、(22)和(23)式，获得反射率和透射率的MATLAB计算函数如下：

function [R, R_max, kl] = FBGreflectivity(n_eff, L, lambda_Brag, delta_neff, lambda)%-------------输入变量--------------------------------% n_eff ---------------有效折射率% L -------------------栅区长度% lambda_Brag ---------光栅中心波长% delta_neff ----------折射率变化量% lambda --------------波长%-------------输出变量-------------------------------% R -------------------反射率% R_max ---------------反射率最大值% kl ------------------互耦合系数与栅区长度的乘积%----------------------------------------------------beta = (2 * pi ./ lambda) * n_eff; % 传播常数disp("周期:" + (lambda_Brag / (2 * n_eff)));delta = beta - (pi / (lambda_Brag / (2 * n_eff)));kappa = pi ./ lambda * delta_neff; % 互耦合系数if (kappa.^2 > delta.^2)s = sqrt(kappa.^2 - delta.^2);R = (kappa .* conj(kappa) .* sinh(s .* L).^2) ./ ((s.^2) .* cosh(s .* L).^2 + delta.^2 .* sinh(s .* L).^2);elses = sqrt(delta.^2 - kappa.^2);R = (kappa .* conj(kappa) .* sin(s .* L).^2) ./ ((s.^2) .* cos(s .* L).^2 + delta.^2 .* sin(s .* L).^2);endkl = kappa * L;R_max = tanh(kl);
end

function [T, T_max, kl] = FBGtransmission(n_eff, L, lambda_Brag, delta_neff, lambda)%-------------输入变量--------------------------------% n_eff ---------------有效折射率% L -------------------栅区长度% lambda_Brag ---------光栅中心波长% delta_neff ----------折射率变化量% lambda --------------波长%-------------输出变量-------------------------------% R -------------------反射率% R_max ---------------反射率最大值% kl ------------------互耦合系数与栅区长度的乘积%----------------------------------------------------beta = (2 * pi ./ lambda) * n_eff; % 传播常数disp("周期:" + (lambda_Brag / (2 * n_eff)));delta = beta - (pi / (lambda_Brag / (2 * n_eff)));kappa = pi ./ lambda * delta_neff; % 互耦合系数if (kappa.^2 > delta.^2)s = sqrt(kappa.^2 - delta.^2);T = s.^2 ./ ((s.^2) .* cosh(s .* L).^2 + delta.^2 .* sinh(s .* L).^2);elses = sqrt(delta.^2 - kappa.^2);T = s.^2 ./ ((s.^2) .* cos(s .* L).^2 + delta.^2 .* sin(s .* L).^2);endkl = kappa * L;T_max = tanh(kl);
end

主程序代码如下：

clear all;
clc;n_eff = 1.5;                % 光栅有效折射率
L = 2e-2;                   % 光栅长度
lambda_Brag = 1550e-9;      % 光栅中心波长
delta_neff = 1.2e-4;        % 有效折射率该变量
lambda = linspace(1548e-9, 1552e-9, 10000); % 波长范围[R1, R1_max] = FBGreflectivity(n_eff, L, lambda_Brag, delta_neff, lambda);
[T1, T1_max] = FBGtransmission(n_eff, L, lambda_Brag, delta_neff, lambda);n_eff = 1.5;                % 光栅有效折射率
L = 2e-3;                   % 光栅长度
lambda_Brag = 1550e-9;      % 光栅中心波长
delta_neff = 1.2e-3;        % 有效折射率该变量
lambda = linspace(1548e-9, 1552e-9, 10000); % 波长范围[R2, R2_max] = FBGreflectivity(n_eff, L, lambda_Brag, delta_neff, lambda);
[T2, T2_max] = FBGtransmission(n_eff, L, lambda_Brag, delta_neff, lambda);% 绘制图形
figure(1);
subplot(2, 1, 1);
plot(lambda, real(R1), 'b');
xlabel('波长/m');
ylabel('反射率');
title('均匀光纤布拉格光栅反射率');
subplot(2, 1, 2);
plot(lambda, real(R2), 'b');
xlabel('波长/m');
ylabel('反射率');
title('均匀光纤布拉格光栅反射率');
grid on;figure(2);
subplot(2, 1, 1);
plot(lambda, real(T1), 'R');
xlabel('波长/m');
ylabel('反射率');
title('均匀光纤布拉格光栅透射率');
subplot(2, 1, 2);
plot(lambda, real(T2), 'R');
xlabel('波长/m');
ylabel('反射率');
title('均匀光纤布拉格光栅透射率');
grid on;

注意，主程序中各参数得到赋值时需要将单位转化为同一量纲。绘出的FBG反射率和透射率图如下：

图2 MATLAB绘制的均匀FBG反射率图

图3 MATLAB绘制的均匀FBG透射率图

参考文献：《光纤光栅基础理论与传感技术》张自嘉著.北京科学出版社.2009

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