第七讲-特征值与特征向量
A=[1 1 1 1;1 1 -1 -1;1 -1 1 -1;1 -1 -1 1];
V=eig(A);
E=eye(4);b=zeros(4,1);
X1=A-V(1)*E;Y1=null(A-V(1)*E,b);
Y2=null(A-V(2)*E,b);
%% 验证
Y4(:,1)*V(4)==A*Y4(:,1);
norm(Y4(:,1)*V(4)-A*Y4(:,1));
%% 验证
[V,D]=eig(A);
[V,D]=eig(sym(A));
>> [V,D]=eig(sym(A))
V =
[-1, 1, 1, 1]
[ 1, 1, 0, 0]
[ 1, 0, 1, 0]
[ 1, 0, 0, 1]
D =
[-2, 0, 0, 0]
[ 0, 2, 0, 0]
[ 0, 0, 2, 0]
[ 0, 0, 0, 2]
嗯,真帅!
MATLAB生成正交矩阵 ,orth(A)计算A的正交基。
>> A=[2 2;2 5]; >> q=orth(A); >> q'*A*qans =6.0000 -0.0000-0.0000 1.0000>> [V,D]=eig(sym(A))V =[-2, 1/2] [ 1, 1]D =[1, 0] [0, 6]
蒙特卡洛法求椭圆面积(http://t.csdn.cn/7DVK8)
多项式的 伴随矩阵 的特征值是这个多项的根。
>> p=[1,0,-1,6]; >> A=compan(p); >> eig(A)ans =-2.0000 + 0.0000i1.0000 + 1.4142i1.0000 - 1.4142i>> roots(p)ans =-2.0000 + 0.0000i1.0000 + 1.4142i1.0000 - 1.4142i
>> A=[3 -2 -4;-2 6 -2;-4 -2 3]; >> Astar=adjoint(A)Astar =14.0000 14.0000 28.000014.0000 -7.0000 14.000028.0000 14.0000 14.0000>> Astar=det(A)*inv(A)Astar =14.0000 14.0000 28.000014.0000 -7.0000 14.000028.0000 14.0000 14.0000>> Astar*Aans =-98.0000 0.0000 0-0.0000 -98.0000 0.0000-0.0000 0.0000 -98.0000
用代数余子式的定义求
function Astar = adjA(A) % 输入方阵A,输出A的伴随矩阵Astar [m,n] = size(A); M = zeros(m,n); if m == nfor i = 1 : mfor j = 1 : nX = A;X(i,:) = [];%去掉第i行X(:,j) = [];%去掉第j列M(i,j) = det(X)*(-1)^(i+j);%计算代数余子式endend elseerror('输入必须为方阵'); end Astar = M'; end
>> A=[3 -2 -4;-2 6 -2;-4 -2 3]; >> trace(A)ans =12>> det(A)ans =-98>> eig(A)ans =-277>> adjoint(A)ans =14.0000 14.0000 28.000014.0000 -7.0000 14.000028.0000 14.0000 14.0000
A的特征向量、特征值 >> A=[3 -2 -4;-2 6 -2;-4 -2 3]; >> [V,D]=eig(sym(A))V =[ 1, -1/2, -1] [1/2, 1, 0] [ 1, 0, 1]D =[-2, 0, 0] [ 0, 7, 0] [ 0, 0, 7]>> dot(V(:,1),V(:,2))ans =0
不同特征值对应的特征向量内积得0,垂直正交。
A逆的特征向量、特征值 >> An=inv(A); >> [Vn,Dn]=eig(sym(An))Vn =[ 1, -1/2, -1] [1/2, 1, 0] [ 1, 0, 1]Dn =[-1/2, 0, 0] [ 0, 1/7, 0] [ 0, 0, 1/7]
A星的特征向量、特征值 >> Ax=adjoint(A); >> [Vx,Dx]=eig(sym(Ax))Vx =[ 1, -1/2, -1] [1/2, 1, 0] [ 1, 0, 1]Dx =[49, 0, 0] [ 0, -14, 0] [ 0, 0, -14]>> det(A)ans =-98
fA的 特征向量、特征值 >> fA=A^3+2*A^2-A+5*eye(3); >> [fV,fD]=eig(sym(fA))fV =[ 1, -1/2, -1] [1/2, 1, 0] [ 1, 0, 1]fD =[7, 0, 0] [0, 439, 0] [0, 0, 439]
A的相似矩阵的特征向量、特征值 >> p=[1 -2 1;2 4 -1;3 2 -2]; >> det(p)ans =-16.0000>> B=inv(p)*A*p; >> [BV,BD]=eig(sym(B))BV =[ 9/4, -2/5, 3/10] [-3/8, 1, 0] [ 1, 0, 1]BD =[-2, 0, 0] [ 0, 7, 0] [ 0, 0, 7]
>> A=[3 -2 -4;-2 6 -2;-4 -2 3]; >> [P,L]=eig(sym(A)); >> A*Pans =[-2, -7/2, -7] [-1, 7, 0] [-2, 0, 7]>> P*Lans =[-2, -7/2, -7] [-1, 7, 0] [-2, 0, 7]
>> p=[2 -1 1;-1 2 1;1 3 3]p =2 -1 1-1 2 11 3 3>> rank(p)ans =3>> j=[3 0 0;0 3 0;0 0 -3]j =3 0 00 3 00 0 -3>> A=p*j*inv(p)A =-7.0000 -14.0000 6.0000-10.0000 -11.0000 6.0000-30.0000 -42.0000 21.0000
>> b=[1 -1 3]'b =1-13
>> A^8*bans =1.0e+04 *0.6561-0.65611.9683>> ans./bans =1.0e+03 *6.56106.56106.5610>> 3^8ans =6561
>> A=magic(3)A =8 1 63 5 74 9 2>> [P,L]=eig(sym(A)); >> [P,L]=eig(sym(A))P =[1, - 24^(1/2)/5 - 7/5, 24^(1/2)/5 - 7/5] [1, 24^(1/2)/5 + 2/5, 2/5 - 24^(1/2)/5] [1, 1, 1]L =[15, 0, 0] [ 0, 24^(1/2), 0] [ 0, 0, -24^(1/2)]
>> A=[1 1 1]; >> b=[0]; >> x=null(A,'r')x =-1 -11 00 1
实对称矩阵
>> A=round(5*rand(3)); >> A+A'ans =10 6 66 4 66 6 10
完美的结论
矩阵的行阶梯,极大无关组
>> s1=[1 2 2]';s2=[0 -1 1]';s3=[-4 1 1]';s4=[2 -5 3]'; >> s=[s1,s2,s3,s4]; >> [R,jb]=rref(s); >> s(:,jb)ans =1 0 -42 -1 12 1 1>> RR =1.0000 0 0 -0.22220 1.0000 0 4.00000 0 1.0000 -0.5556
说明s4可有s1、s2、s3表示
伴随是啥?
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