我个人认为麻省理工线性代数这门课，到二十一讲才真正进入有用的部分，因此从这一讲开始做笔记。

一，概念

满足条件：Ax=λx

解释：当向量x经过矩阵A变换后，效果等于向量x乘上任意常数λ

则：x是矩阵A的特征向量，λ是矩阵A的特征值

二，性质

性质1：如果A是奇异矩阵，且Ax=0，则x是0空间的非0向量，λ=0

注：奇异=不可逆=线性相关，非奇异=可逆=线性无关

性质2：λ的和=A的迹trace

解释：A的迹trace表示，矩阵A对角元素的和

性质3：λ的积=det(A)

解释：det(A)表示，A的行列式的值

三，求λ和x

把Ax=λx化为(A-λI)x=0，发现必须满足：det(A-λI)=0

因为如果det(A-λI)≠0，则x只有0解（x≡0x \equiv 0x≡0），不存在特征向量

第一步：求出λ，通过det(A-λI)=0

二阶矩阵的特征值是如下方程的解：
λ2−trace(A)λ+detA=0\lambda ^{2}-trace(A)\lambda +detA =0λ2−trace(A)λ+detA=0

第二步：求出x，通过(A-λI)x=0

注：用高斯若尔当消元法
特征向量之间必须线性无关，但不一定互相垂直

四，矩阵平移

(A+αI)x=Ax+αx=λx+αx=(λ+α)x，α∈R

解释：α表示，矩阵A对角元素的平移量

如果Ax=λx，By=αy，则(A+B)x≠(λ+α)x，因为x≠y

解释：特征向量不同，则特征值不能相加

五，90°旋转矩阵的特征值是复数

Q=[cos90°−sin90°sin90°cos90°]=[0−110]Q=\begin{bmatrix}cos90° & -sin90°\\ sin90° & cos90°\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}Q=[cos90°sin90°−sin90°cos90°]=[01−10]
计算特征值：λ1=i,λ2=−i\lambda _{1}=i,\lambda _{2}=-iλ1=i,λ2=−i
实数特征向量只有0向量

性质1：如果一个矩阵具有复数特征值 a+bi 则，它的共轭复数 a-bi 也是矩阵的特征值
性质2：实数特征值让特征向量伸缩，而虚数让其旋转

六，对称矩阵和反对称矩阵的特征值

对称矩阵（AT=AA^T=AAT=A ，具有伸缩性）的特征值是纯实数
反对称矩阵（AT=−AA^T=-AAT=−A ，具有旋转性）的特征值是纯虚数
上面两种是极端情况，夹在这两种矩阵中间的矩阵（部分对称或部分反对称），特征值是实数和虚数的结合

七，退化矩阵的特征值

A=[3103]A=\begin{bmatrix}3 &1 \\0 & 3\end{bmatrix}A=[3013]
计算特征值是相同的：λ1=3,λ2=3\lambda _{1}=3,\lambda _{2}=3λ1=3,λ2=3
特征向量只有一个：x=[10]x=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}x=[10]
没有线性无关的另一个特征向量（退化了）

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第二十一讲特征值和特征向量

一，概念

满足条件：Ax=λx

则：x是矩阵A的特征向量，λ是矩阵A的特征值

二，性质

性质1：如果A是奇异矩阵，且Ax=0，则x是0空间的非0向量，λ=0

性质2：λ的和=A的迹trace

性质3：λ的积=det(A)

三，求λ和x

把Ax=λx化为(A-λI)x=0，发现必须满足：det(A-λI)=0

第一步：求出λ，通过det(A-λI)=0

第二步：求出x，通过(A-λI)x=0

四，矩阵平移

(A+αI)x=Ax+αx=λx+αx=(λ+α)x，α∈R

如果Ax=λx，By=αy，则(A+B)x≠(λ+α)x，因为x≠y

五，90°旋转矩阵的特征值是复数

六，对称矩阵和反对称矩阵的特征值

七，退化矩阵的特征值

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二，性质

性质1：如果A是奇异矩阵，且Ax=0，则x是0空间的非0向量，λ=0

性质2：λ的和=A的迹trace

性质3：λ的积=det(A)

三，求λ和x

把Ax=λx化为(A-λI)x=0，发现必须满足：det(A-λI)=0

第一步：求出λ，通过det(A-λI)=0

第二步：求出x，通过(A-λI)x=0

四，矩阵平移

(A+αI)x=Ax+αx=λx+αx=(λ+α)x，α∈R

如果Ax=λx，By=αy，则(A+B)x≠(λ+α)x，因为x≠y

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