傅里叶变换性质证明卷积_傅里叶变换（三）采样与离散序列

这一部分需要结合上傅里叶变换在信号处理上的实际意义了，前面所讨论的都是连续信号，但是计算机是无法处理这种连续变化的量的，我们只能够通过采样获得一组离散的信号，那么该如何对这样离散的信号进行处理就是下一步所需思考的问题。

一、采样定理

在理想情况下，对原始连续信号

进行时间间隔为

的采样，所得的离散信号

可以表示为

其中

是一个周期函数，将其展开为傅里叶级数

，

所以

它的傅里叶变换

根据频域卷积定理

即在时域采样等同于在频域进行以

为周期的延拓

。

设原信号的截止频率为

，为了保证采样后的信号相比原信号在频谱上不会发生重叠，即为混叠，那么就需要满足

，这时信号唯一确定，这个结论被称为采样定理。

当

时，信号发生混叠，这称为欠采样，导致我们无法通过采样后的信号还原出原信号。

因而在实际情况中，采样率往往在合理的范围内越高越好，比如说音乐软件中的音质选项，越好的音质对应着越高的采样率。

二、离散傅里叶级数

连续情况下的傅里叶级数可以表示为

对于一个离散序列

，同样可以写出它的傅里叶级数，

由于这个序列只有

项，所以频率只需从

加到

即可，

再推出

的表达式

由正交性，当且仅当

时，第二个求和号的值不等于0，且它的值为

所以

整理一下

这就称为离散傅里叶级数，其实这个就是我们最终要找的离散傅里叶变换

三、离散时间傅里叶变换

有了采样的操作，那么就可以在采样后进行时间离散的傅里叶变换。

注意到，

是以

为周期重复的。

将频率归一化，即为

以

为周期重复

注意在这里是不能直接套用傅里叶逆变换的公式来求

的，否则求出来的实际上是采样所得的

。

离散傅里叶级数可以表示为

发现离散时间傅里叶变换实际上是上式中

的极限情况

套用离散傅里叶级数的式子

类似傅里叶变换的推导，令

在一个周期内变化，

也就在

的范围内变化，所以积分的区间长度为

综合在一起

四、离散傅里叶变换

离散傅里叶变换就是上面的离散傅里叶级数，它的时间离散且长度有限，已经属于计算机可以处理的范畴了。

定义单位根

于是离散傅里叶级数就可以写为很熟悉的形式

离散傅里叶变换具有与傅里叶变换类似的性质，其为线性变换，同时也满足频域和时域上的卷积定理，这便是我们采用离散傅里叶变换优化多项式运算的正确性的保证。关于它们的证明在此不再赘述，感兴趣的可以自行证明。