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基于Python的数学建模
空间插值
- 基本概念
- Scipy一维插值
- Scipy多维插值方法
- 反距离权重插值（IDW）
- 克里金插值(Kriging)

基于Python的数学建模

Github仓库：Mathematical-modeling

空间插值

基本概念

定义：空间插值常用于将离散的测量数据转换为连续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较，它包括了空间内插和外推两种算法。
- 空间内插算法：通过已知点的数据推求同一区域未知点数据
- 空间外推算法：通过已知区域的数据，推求其它区域数据
- 区别：
  - 是处理方法不同、职责不同、工作内容不同
  - 内插法在样本数据的范围内预测，比外插法要准。
  - 用回归方程预测范围以外的数值称为外插法，而内插法是对数据范围内的点进行预测。
插值分类
- 整体插值、局部插值和边界内插法
- 确定性插值和地统计插值
- 精确插值和近似插值
插值工具：
- scipy.interpolate 模块有一维插值函数(interp1d)、二位插值函数(interp2d)、多纬插值函数(interpn、interpnd)，可以进行使用常见的方法进行插值。例如线性插值，最近邻插值和样条插值。
- PyKrige包可以提供各种类型的kriging插值

Scipy一维插值

生成已知数据点集(x,y)和需要插值的新数据集xnew

# 生成已知的数据点集 (x,y)
np.random.seed(666)
x = np.linspace(0, 10, 20) # 生成已知数据点x
y = np.cos(x) * 2 + np.sin(x) / 2 # 生成已知数据点y
xnew = np.linspace(0, 10, 50) # 设定需进行插值的数据点集xnew

通过不同插值方法，根据给定数据点集(x,y)来计算插值函数f(x)f(x)f(x)

f1 = interp1d(x, y, kind="linear") # 线性插值
########################################
f2 = interp1d(x, y, kind="nearest") # 最近临插值，向下取舍
f3 = interp1d(x, y, kind="nearest-up") # 最近临插值，向上取舍
########################################
f4 = interp1d(x, y, kind="zero") # 零阶样条插值
f5 = interp1d(x, y, kind="slinear") # 一次样条插值
f6 = interp1d(x, y, kind="quadratic") # 二次样条插值
f7 = interp1d(x, y, kind="cubic") # 三次样条插值
########################################
f8 = interp1d(x, y, kind="previous")  # 前点插值
f9 = interp1d(x, y, kind="next") # 后点插值

不同空间插值方法对比

fig, [[ax1,ax2],[ax3,ax4]] = plt.subplots(2,2,figsize=(12,8))
ax1.plot(x,y,'o',label='已知数据点')
ax1.plot(xnew,f1(xnew),'r',label='线性插值')
ax1.legend()ax2.plot(x,y,'o',label='已知数据点')
ax2.plot(xnew,f2(xnew),label='最临近点插值-向下取舍')
ax2.plot(xnew,f3(xnew),label='最临近点插值-向上取舍')
ax2.legend()ax3.plot(x,y,'o',label='已知数据点')
ax3.plot(xnew,f4(xnew),label='零阶样条插值')
ax3.plot(xnew,f5(xnew),label='一次样条插值')
ax3.plot(xnew,f6(xnew),label='二次样条插值')
ax3.plot(xnew,f7(xnew),label='三次样条插值')
ax3.legend()ax4.plot(x,y,'o',label='已知数据点')
ax4.plot(xnew,f8(xnew),label='前点插值')
ax4.plot(xnew,f9(xnew),label='后点插值')
ax4.legend()

Scipy多维插值方法

生成已知数据点集(x,y,z)和需要插值的新数据集xnew,ynew

def func(x, y):return x*(1-x)*np.cos(4*np.pi*x) * np.sin(4*np.pi*y**2)**2rng = np.random.default_rng() # 随机数生成器
points = rng.random((1000, 2)) # 生成1000个随机点(x,y)
values = func(points[:,0], points[:,1]) # 计算已知随机点的值, z# 生成插值网格
xnew, ynew = np.linspace(0,1,200), np.linspace(0,1,200)
xnew_grid, ynew_grid = np.meshgrid(xnew, ynew)

通过不同插值方法，根据给定数据点集(x,y,z)来计算插值函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)

from scipy.interpolate import griddata
# 使用不同插值方法，由已知数据(x,y,z)，计算插值网格的z值
xi = (xnew_grid, ynew_grid)
z1 = griddata(points, values, xi, method="nearest")  # 最近邻插值
z2 = griddata(points, values, xi, method="linear")  # 线性插值
z3 = griddata(points, values, xi, method="cubic")  # 三次样条插值

不同空间插值方法对比

fig, [[ax1, ax2], [ax3, ax4]] = plt.subplots(2,2,subplot_kw=dict(projection='3d'),figsize=(12, 10))
# 原始数据
ax1.scatter3D(points[:, 0], points[:, 1], values)
ax1.set_title('原始数据')
# 最近邻插值
ax2.scatter3D(xnew_grid, ynew_grid, z1)
ax2.set_title('最近邻插值')
# 线性插值
ax3.scatter3D(xnew_grid, ynew_grid, z2)
ax3.set_title('线性插值')
# 三次样条插值
ax4.scatter3D(xnew_grid, ynew_grid, z3)
ax4.set_title('三次样条插值')

反距离权重插值（IDW）

IDW算法的Python实现

def IDW(xnewgrid,ynewgrid,x, y, z, b=2):""":param xnew: 网格化的插值点x:param ynew: 网格化的插值点y:param x: 已知数据点x:param y: 已知数据点y:param z: 已知数据点z:return: 插值结果"""xnewgrid_, ynewgrid_ = xnewgrid.ravel(), ynewgrid.ravel()znew = []# 计算每个插值点的插值结果for i in range(len(xnewgrid_)):   # 遍历计算所有离散数据点与该插值点的距离d = np.sqrt((xnewgrid_[i]-x)**2 + (ynewgrid_[i]-y)**2) # 计算两点间的距离if 0 in d:znew.append(z[np.where(d == 0)[0][0]]) # 如果插值点为离散数据点中的一个，则直接返回该点的值else:distance = 1 / (d**b) # 计算距离权重函数, b为距离倒数的幂，常数，一般b越大，内插结果越平滑distance_sum = np.sum(distance)distance_weight = distance / distance_sumznew.append(np.sum(distance_weight * z))znew = np.array(znew)znew = znew.reshape(xnewgrid.shape)return znew

生成已知数据点集(x,y,z)和需要插值的新数据集xnew,ynew

def func(x, y):return x*(1-x)*np.cos(4*np.pi*x) * np.sin(4*np.pi*y**2)**2x = np.linspace(-10, 10, 20)  # 生成已知数据点x
y = np.linspace(-10, 10, 20)  # 生成已知数据点y
z = func(x, y) # 生成已知数据点z# 生成插值网格
xnew = np.linspace(-10, 10, 50)
ynew = np.linspace(-10, 10, 50)
xnew_grid, ynew_grid = np.meshgrid(xnew, ynew)

计算插值结果

znew = IDW(xnew_grid,ynew_grid,x, y, z, b=2)
fig, [ax1, ax2] = plt.subplots(1,2,subplot_kw=dict(projection='3d'),figsize=(10, 8))
# 原始数据
ax1.scatter3D(x,y,z)
ax1.set_title('原始数据')
# IDW插值
ax2.scatter3D(xnew_grid, ynew_grid, znew)
ax2.set_title('IDW插值')

克里金插值(Kriging)

生成已知数据点集(x,y,z)和需要插值的新数据集xnew,ynew

def func(x, y):return x*(1-x)*np.cos(4*np.pi*x) * np.sin(4*np.pi*y**2)**2x = np.linspace(-10, 10, 20)  # 生成已知数据点x
y = np.linspace(-10, 10, 20)  # 生成已知数据点y
z = func(x, y) # 生成已知数据点z# 生成插值网格
xnew = np.linspace(-10, 10, 50)
ynew = np.linspace(-10, 10, 50)
xnew_grid, ynew_grid = np.meshgrid(xnew, ynew)

克里金插值(Kriging)插值

from pykrige.ok import OrdinaryKriging
# 创建克里金网格和方差网格
OK = OrdinaryKriging(x, # 已知数据点xy, # 已知数据点yz, # 已知数据点zvariogram_model="linear",
)
znew, ss = OK.execute("grid", xnew, ynew) # 计算插值网格z和方差网格ss
# 绘图
fig, [ax1, ax2] = plt.subplots(1,2,subplot_kw=dict(projection='3d'),figsize=(10, 8))
# 原始数据
ax1.scatter3D(x,y,z)
ax1.set_title('原始数据')
# 克里金插值
ax2.scatter3D(xnew_grid, ynew_grid, znew)
ax2.set_title('克里金插值')

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