数学建模matlab插值及拟合

2013数学建模培训 插值与拟合 插值与拟合属数值分析中函数逼近内容。在数学建模竞赛中，插值与拟合是一种常用的数据分析手段，被公认为建模中的十大算法之一。 本节首先通过具体问题引出插值问题与拟合问题，然后简要介绍Matlab中的插值和拟合的相关命令，最后给出两个应用插值和拟合的建模实例。 本节要求学生： (1) 理解插值问题和拟合问题；在实际中会正确地判断、选择插值或拟合方法。 (2) 了解高次插值的Runge 现象及避免方法。 (3) 熟悉Matlab中一维插值(interp1)、二维插值(interp2) 、散乱点插值(griddata)及相关命令(surf,mesh,meshgrid,contour)。 (4) 熟悉Matlab中多项式拟合(polyfit)、 最小二乘曲线拟合(lsqcurvefit)命令。 (5) 掌握Matlab编程的基本知识与技能,如数组及运算、调用，循环与控制语句，绘图相关命令，函数(m文件)的定义和调用等。 一、插值问题与拟合问题 引例 矿井中某处的瓦斯浓度 y 与该处距地面的距离x有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(xi,yi) (i=0,1,…,10)，根据这些数据完成下列工作: (1) 寻找一个函数，要求由此函数可近似求得从地面到井下500米之间任意点处的瓦斯浓度；(2) 估计井下600米处的瓦斯浓度。 第一个问题可归结为“已知函数在x0,x1, …,xn处的值，求函数在区间[x0,xn]内其它点处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。 插值问题可描述为：已知函数在x0,x1, …,xn处的值y0,y1,…,yn，求函数p(x)，使p(xi) = yi。 但对第二个问题不宜用插值方法,因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。 解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下 500 处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离x之间的近似函数关系f(x), 由f(x)求井下600米处的瓦斯浓度。 插值函数过已知点，拟合函数不一定过已知点。通常, 插值主要用于求函数值，而拟合的主要目的是求函数关系。当然，某些问题既可以用插值也可以用拟合。 二、高次插值中的Runge现象 通常选用多项式作为插值函数。在研究插值问题的初期，所有人都认为插值多项式的次数越高，插值精度越高。 Runge 通过对一个例子的研究发现，上述结论仅仅在插值多项式的次数不超过 七时成立；插值多项式的次数超过七时，插值多项式会出现严重的振荡现象，称之为Runge现象。 例1 ，节点 ，求插值多项式 。 用Maple (Matlab高次插值功能较弱) 可方便地求出1～20次插值多项式，通过图形观察插值效果，见Maple程序演示。 避免 Runge 现象的常用方法是：将插值区间分成若干小区间，在小区间内用低次 (二次，三次) 插值，即分段低次插值，如样条函数插值 。 三、Matlab插值 Maple 和 Matlab 等数学软件可方便地进行一维和二维多项式插值和样条插值，其中Matlab的二维插值功能较强。 Maple中的插值和样条插值命令分别为interp和spline。 例如， interp([1,3,4,7],[3,5,4,9],x); spline([1,3,4,7],[3,5,4,9],x,cubic)。 下面介绍Matlab中的插值命令。 1. 一维插值 一维插值的典型命令是interp1, 其基本格式为yi=?interp1(x,y,xi, 'method')。 x, y为插值点，xi, yi为被插值点和插值结果，x,y和xi,yi通常为向量；'method'表示插值方法：'nearest'—最邻近插值, 'linear'—线性插值, 'spline'—三次样条插值, 'cubic'—立方插值，缺省为线性插值。 例2 在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为 ?