怎么用Python数学建模

djcjfhfhhjdvjfhvfghhfgbdthhgdchfjfuivvh

DSI方法在几何建模上的应用

本节叙述如何应用DSI方法来与曲面S相联系的二维图形图3.1)，S面具有下面部分信息：

●图形上结点的确切位置，

●图形上某些结点近似位置，

●S上的某些向量约束条件。

为了这一目的，定义φ(k)为连接R3空间原点到S上Ω的当前节点k的当前向量，并且φx(k)，φy(k)，φz(k)为其在R3正交基｛Ox,Oy,Oz｝上的分量，记为：φ(k)＝｛φx(k)，φy(k)，φz(k))

通常，节点集合Ω被分为两个子集I和L并有：

φ(i)　未知　 i∈I

φ(l)　已知　 l∈L

节点l∈L，其位置φ(l)在R3上是已知的，称为控制节点，并且我们期望通过这样一种途径来获得剩余节点i∈I的位置：使下述基于给定的权系数｛vα(k｝)和μ(k)的集合的准则R(φ)尽可能的小：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

这里

地质模型计算机辅助设计原理与应用

当k在Ω变化时，φ(k)的分量可被解释为n=3的函数｛φ1(k)，φ2(k)，φ3(k)的集合，在Ω上有如下定义：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

应用毕达格拉斯定理(勾股定理)，容易验证：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

从问题的这个公式可以得出结论：向量｛φ(l)∶l∈L｝可以由本章第九节中提出的DSI方法的一般化形式获得。

注释：如果曲面S由一个或几个不相连的碎片构成，并且满足定理1的条件，当每个碎片上至少有一个节点是已知时，则可以证明这个问题存在惟一解。

交互应用。在几何建模中，目标是交互的确定与节点集合Ω相联系的图形G的几何轮廓。为了实现这一目的，假设给定一个初始的形体，并且用户移动某些节点和交互的修改某些约束条件(控制节点和模糊信息)；这些修改通过DSI方法的一般化形式传到节点i∈I上。

从建模过程的每一步到另外一步，不仅可以修改控制节点的位置，有必要的话，子集L自身也可以被改变。例如，如果仅期望在节点的一个子集Γ上应用DSI，那么有必要选取L，使得 ，这里 是Ω上的集合r的补集。

引入模糊几何信息。起初，DSI被设计用来模拟在自然科学领域遇到的复杂曲面，例如地质学和生物学中的复杂曲面。在这些应用中，往往存在许多不精确的数据，比如：

●模糊控制节点，

●模糊向量约束条件，

●模糊切平面。

在本节中，为了简化记号，假设v为集合｛x,y,z｝中的一个序号。

模糊控制节点。定义，任何节点λ∈I，其位置φ(λ)已知近似等于一个给定的带有可信度 的向量 ，称为模糊控制节点。

地质模型计算机辅助设计原理与应用

这种模糊信息类型在φ(λ)的每个分量上产生如下相互独立的约束条件：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

由上述三个约束条件的独立性，本章第五节可用于确定DSI(α)方程一般化形式中的系数Γiv(α)和yiv(α)：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

和

地质模型计算机辅助设计原理与应用

模糊向量约束。像图3.2(a)和图3.2(b)显示的那样，有这样一类应用，即希望通过(φ(μ)－φ(λ))在给定的可信度 水平上等于一个已知向量△λμ，以此来控制曲面形态：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

同模糊控制结点的情形一样，这种模糊信息产生三个独立的约束条件：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

由上述这三个约束条件的独立性，本章第五节可用来确定出DSI(α)方程的一般化形式中的系数Γiv(α)和γiv(α)：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

模糊切平面。如图3.2(c)中显示的，可假设曲面S上节点λ处的切平面已知近似正交于一个给定的带有可信度系数 的向量Vλ。这种模糊的信息，可以由下面一系列约束条件来确定，这里集合Λ(λ)假设为在本章第六节中定义的节点λ的轨道：

图3.2　用于矢量约束的表面控制线形状(J.L.Mallet,1992)

图中假设矢量△λμ已知，并垂直于图d中的V

地质模型计算机辅助设计原理与应用

容易证明上述条件产生下列一系列模糊约束条件：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

如果

地质模型计算机辅助设计原理与应用

这一系列模糊信息可被写成：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

根据DSI(α)方程的一般化形式，每一约束条件产生一对Γiv(α)和γiv(α)分量：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

可以看到，和上述两个例子相反，由于Γiv(α)中标量bi＝φ(i)·Vλ的存在，由一个模糊切平面产生的模糊约束条件给φ(α)的三个分量之间提供了一种联系。

模糊控制点。像图3.3中显示的那样，设一个给定的点P，一个给定的方向D，一个属于曲面S的三角形T(φ(α0)，φ(α1)，φ(α2)，通过P点平行于方向D的直线△交三角形于p点。可能有这样的要求：期望通过使交点p与给定点P一致来构造曲面S，这里P就称为控制点。这种类型的约束条件可用下述公式来表示，这里(u,v,w)为交点p相对于(φ(α0)，φ(α1)，φ(α2))的重心坐标，并且(Px,Py,Pz)为控制点P的欧氏坐标，对于所有v＝(x,y,z)，有：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

图3.3　控制点符号(J.L.Mallet,1992)

根据用于DSI约束条件的标记法，这些条件可被如下写出，对于所有v＝(x,y,z)，

地质模型计算机辅助设计原理与应用

这里：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

由上述三个约束条件的独立性，本章第五节可用来确定在DSI(α)方程一般化形式中产生的系数Γiv(α)和γiv(α)：

地质模型计算机辅助设计原理与应用

注释：在模糊约束条件的描述中，在这些约束条件的三个分量中只用了一个可信度系数 ，这种约定只适用于φ(α)的三个分量之间存在联系的约束条件中，正像上文提到的模糊正切平面的情况。

实际上，当模糊约束条件的三个分量彼此独立时，像模糊控制节点和模糊向量的情况，对应三个分量可以使用三个不同的可信度系数 ， 和 。

版权声明：本站所有文章皆为原创，欢迎转载或转发，请保留网站地址和作者信息。