OEIS A098928 数表扩充

A098928：对 n×n×nn\times n\times nn×n×n 的三维立方点阵，问有多少立方体以其格点为顶点。

为了计算这个问题的答案，我们不妨先看看 222 维的情况。我们先考虑一个斜着摆的正方形，其边向量可以写作 (a,b),(b,−a),(−a,−b),(−b,a)(a,b),(b,-a),(-a,-b),(-b,a)(a,b),(b,−a),(−a,−b),(−b,a)。考虑这个形状有多少种方法放进 n×nn\times nn×n 的点阵。这取决于它在 x,yx,yx,y 上的长度和宽度。无疑其长宽都是 a+ba+ba+b。那么对于被长宽为 hhh 框住的正方形有 hhh 种，而这样的正方形有 (n−h)2(n-h)^2(n−h)2 种放法。所以答案就是 ∑hh⋅(n−h)2\sum_h h \cdot (n-h)^2∑hh⋅(n−h)2。

对于三维情况，我们发现有一个很大的问题：三个维度的宽度可以是不一样的，比如 (3,4,0),(4,−3,0),(0,0,5)(3,4,0),(4,-3,0),(0,0,5)(3,4,0),(4,−3,0),(0,0,5) 支成的立方体。我们需要用比较聪明的方法枚举这三条棱。具体来说，需要满足条件：

向量 u,v,w\mathbf{u,v,w}u,v,w 两两正交（u⋅v=0\mathbf{u\cdot v = 0}u⋅v=0）且等长 ∣u∣=∣v∣=∣w∣|\mathbf{u}|=|\mathbf v| = |\mathbf w|∣u∣=∣v∣=∣w∣。

对于这样的一组解，它有 (n−∣ux∣−∣vx∣−∣wx∣)⋅(n−∣uy∣−∣vy∣−∣wy∣)⋅(n−∣uz∣−∣vz∣−∣wz∣)(n - |u_x| - |v_x| - |w_x|) \cdot (n - |u_y| - |v_y| - |w_y|) \cdot (n - |u_z| - |v_z| - |w_z|)(n−∣ux∣−∣vx∣−∣wx∣)⋅(n−∣uy∣−∣vy∣−∣wy∣)⋅(n−∣uz∣−∣vz∣−∣wz∣) 种放置方法（前提是各项均 >0>0>0）。

接 yhx-12243 的论述，我们知道可以借助 Hurwitz 四元数 H={sω+xi+yj+zk∣s,x,y,z∈Z},ω=1+i+j+k2H=\left\{ s \omega + x \mathrm i + y \mathrm j + z \mathrm k \mid s,x,y,z\in \mathbb Z \right\}, \omega = \frac{1+\mathrm i + \mathrm j + \mathrm k}{2}H={sω+xi+yj+zk∣s,x,y,z∈Z},ω=21+i+j+k 来枚举这样的向量组。

具体来说，对于每个 q∈Hq\in Hq∈H，考虑 v=xi+yj+zkv = x \mathrm i + y \mathrm j + z \mathrm kv=xi+yj+zk 被共轭作用 v↦qvq‾v \mapsto qv\overline qv↦qvq 确定了一个伸缩旋转。具体来说，首先是进行了旋转 v↦qvq−1v \mapsto q v q^{-1}v↦qvq−1，然后伸长了 ∣qvq‾∣/∣v∣=∣q∣2|qv\overline q| / |v| = |q|^2∣qvq∣/∣v∣=∣q∣2 倍，也就是 qqq 的范数。但这并没有覆盖所有的变换，再引入无平方因子的奇数 rrr，所有的 (r,q)(r,q)(r,q) 构成的 v↦r⋅qvq‾v \mapsto r\cdot qv\overline qv↦r⋅qvq 精确覆盖了所有情况。

我们可以直接枚举 r∣q∣2≤nr |q|^2 \le nr∣q∣2≤n 的 (r,q)(r,q)(r,q)，由于 ∣q∣2≤n|q|^2\le n∣q∣2≤n 的 Hurwitz 四元数只有 O(n2)O(n^2)O(n2) 种，那么再枚举 rrr 之后仍然只有 ∑r(n/r)2=O(n2)\sum_r (n/r)^2 = O(n^2)∑r(n/r)2=O(n2) 种。因此枚举的总时间为 O(n2)O(n^2)O(n2)。（这还是比较反直觉的，因为这说明起手 O(n3)O(n^3)O(n3) 枚举其中一条棱的做法走不通！）

这是一份代码。加个前缀和优化稍微改改就能在几分钟内跑出 n≤104n\le 10^4n≤104 的所有答案。

它还有很大的优化空间，因为一个立方体被从每个顶点数了三次，也就是枚举自带了一个 242424 倍的常数。这对应于 ∣q∣=1|q|=1∣q∣=1 的 Hurwitz 四元数总共有 242424 种。如果能直接在 H/{∣ω∣=1∣ω∈H}H / \{ |\omega|=1\mid \omega\in H\}H/{∣ω∣=1∣ω∈H} 上枚举就可以去掉这个常数了。这里是 yhx-12243 优化的版本。

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