线性规划与整数规划小结

线性规划

1 线性规划问题以及可行域与基本可行解
（1）一般形式：
minZminZminZ =C1C_1C1X1X_1X1+ C2C_2C2X2X_2X2+C3C_3C3X3X_3X3+…+CnC_nCnXnX_nXn
a11a_{11}a11x1x_1x1+a12a_{12}a12x2x_2x2+a13a_{13}a13x3x_3x3+…+a1na_{1n}a1nxnx_nxn=b1b1b1
…
am1a_{m1}am1x1x_1x1+am2a_{m2}am2x2x_2x2+…+amna_{mn}amnxnx_nxn>=bmbmbm
xjx_{j}xj>=0 ,jjj=1,2,3…qqq,xjx_{j}xj无限制 ,jjj=qqq…n

(2)标准型是约束方程为等号，所有的变量取非负数。对于非负的约束可以通过引入剩余变量或者松弛变量变为等式，对于无限制的变量可以转化为两个正的变量相减的形式。将目标函数转化为minminmin 的形式。

(3) 可行解：满足所有的约束条件的向量（x1x2...xnx_{1} x_{2}...x_{n}x1x2...xn）T^TT
可行域：可行解的集合
最优解可行域中目标函数最优的可行解
（4）基本可行解与基本定理
分块，分为满秩矩阵B ,以及矩阵N ，由AX =b 得到BxBx_{B}xB+NxNx_{N}xN=b
xBx_{B}xB=B−1b−B^{-1}b-B−1b−B−1NxNB^{-1}Nx_{N}B−1NxN
令xN=0x_{N}=0xN=0 ，得到了一组解。
基与基向量：设B是秩为m的约束矩阵的A的一个m阶满秩子方阵，B中的列向量称为基向量
基变量基向量对应的变量称为基变量，同理称为非基变量
基本可行解当xBx_{B}xB>=0 时为基本可行解
（最优解一定是可行解，但不一定是基本可行解，也不一定是基本解）
总结
如果基本可行解的个数有限，可以在基本可行解中寻找最优解

2单纯形表法
主要的思路：先寻找一个基本可行解，判断是不是最优解，如果不是就寻找一个更好的可行解，如此迭代直到找到最优解或者是问题无界。
首先寻找一个基本可行解：
xBx_{B}xB+B−1NxN=B−1bB^{-1}Nx_{N}=B^{-1}bB−1NxN=B−1b
cTx=cBTxB+cNTxNc^{T}x=c^{T}_{B}x_{B}+c^{T}_{N}x_{N}cTx=cBTxB+cNTxN (1)
令B对应的检验数为0，对应的目标函数可以写为cBTB−1b−γTc_{B}^{T}B^{-1}b-\gamma^{T}cBTB−1b−γT
其中γT=(γBT,γNT)\gamma^{T}=(\gamma^{T}_{B},\gamma_{N}^{T})γT=(γBT,γNT)
从以上的式子中看出当γNT\gamma^{T}_{N}γNT中的系数是小于0 是最优的。
所以根据第一个知识点的回顾，首先将问题转化为标准型的问题，将目标函数中基变量的系数变为0，找到一个基本可行解之后判断是不是最优的，方法很简单看目标函数中的非基变量的系数是不是负的，如果不是那么进行迭代。最终得到最优解，或者是无界。
上述的证明中其实就包含了主要的思路。

3两阶段法
当转化为典式后，基变量不好确定时候可以使用添加人工变量的方式找到这个秩。
引入辅助问题 minminmin g=∑i=n+1n+mxig=\sum_{i=n+1}^{n+m}x_{i}g=∑i=n+1n+mxi
s.t.{Ax+xa=bx≥0xa≥0(1)s.t.\begin{cases} Ax+x_{a}=b \\ x \geq 0 \quad x_{a}\geq0 \end{cases}\tag{1} s.t.{Ax+xa=bx≥0xa≥0(1)
对于辅助问题也是有要求最优值的，先给出辅助问题与原问题之间的关系
给出
如果原问题是最优解的话，辅助问题是的最优值是0，反之也是成立的。
求解辅助问题lplplp会得到以下的情况：
（1）问题ggg的最优解是0,并且人工变量是非基变量，那么对应到原问题就是有最优解的。
（2）辅助问题的最优解＞0 原问题是没有基本可行解的，
（3）辅助问题Lp的最优解等于0，但是存在人工变量是基变量，这种需要进一步的判断。
此时假设人工变量xrx_{r}xr是基变量（n+1<r<n+mn+1<r<n+mn+1<r<n+m）,只需要考察前n个元素即可。对应的这一行中的元素要么是都是0，要么不全是0，如果全部是0，那么前n 元素对应的秩不再是m,是m-1，此时可以直接去掉这一行的约束，（系数都是0，这个方程是没有原问题的约束的），如果是不全为0 ，只能是在n 个元素中找个变量成为基变量，此时在对应的行找到一个元素，记为arsa_{rs}ars ,这个元素是可以小于0的，是因为对应的brb_{r}br是必然的为0，现在arsa_{rs}ars作为基变量出现也会是0，综上使用这两种方法终于会找到基本可行解。但是对于原问题不一定是最优解，可能需要使用单纯形表法进一步求解。

4对偶性以及对偶单纯形法
个人还是比较喜欢对偶性法的，根据线性代数的知识对于一个n*m阶的矩阵是可以找到满秩方阵的，但是由于bbb是具有限制的，引入了两阶段法，在这个部分中又引入了对偶形法。
首先引入对偶问题的形式，
mincTxminc^{T}xmincTx

s.t.{Ax=bx≥0(1)s.t.\begin{cases} Ax=b \\ x \geq 0 \quad \end{cases}\tag{1} s.t.{Ax=bx≥0(1)

maxwTbmax\quad w^{T}bmaxwTb
s.t.{wTb≤cTw无限制(2)s.t.\begin{cases} w^{T}b\leq c^{T} \\ w 无限制 \end{cases}\tag{2} s.t.{wTb≤cTw无限制(2)
直接给出结论：通过一个问题的最优解可以得到另一个问题的最优解。
给定一个原问题，可以得到对偶问题。
（1）由约束看变量，约束的符号是≥\geq≥ 对偶问题的符号是≤\leq≤ ,约束的符号是≤\leq≤ ,对偶问题的符号是≥\geq≥,是等于的话是严格的无限制。
（2）由变量看约束，符号相反
（3）bbb变ccc ,ccc变bbb
原问题与对偶问题的互补松紧性：
（1）如果一个问题的非负变量是正的，那么另外一个的约束是===
(2) 一个问题的约束是严格的不等式，那么是另一个的变量是等于0
类比单纯形表的方法，得到对偶形法。
对偶单纯形表法是保证检验数为负，bbb由负到正的过程迭代，在选择出基的向量时候，如果brb_{r}br对应的arja_{rj}arj都是≥0\geq0≥0 ，那么没有可行解。

5灵敏度分析
这里这是考虑改变c,bc,bc,b 。
改变c 需要考虑是不是基变量
对于非基的情况较为简单，因为不会涉及到最优解，检验数是变为原来的－新的，之后继续求解。
当是基变量时候：将单纯形表中对应的第lll个约束乘以c,c^,c,-ccc 加到目标函数中，再令对应的元素为0，就可以得到新的单纯形表，再进一步求解。
改变右端向量bbb的时候，那么最优解要变了。需要先求解以下BBB 的逆矩阵，由上面的内容可以看出是和检验数没有关系的。计算B−1b′B^{-1}b^{'}B−1b′,cBTB−1b′c_{B}^{T}B^{-1}b^{'}cBTB−1b′ ，此时可以使用对偶形法求解问题。

整数规划

引言：
整数规划是对线性规划的特殊的情况，顾名思义，是要求基本可行解都为正整数。有两种方法是合适的。
（1）Gomory 割平面法（以下简称割平面法）
可以这样说整数规划的最优值是小于等于线性规划最优值的，如果线性规划是有最优值的。同理如果线性规划是没有可行解的，那么整数规划是没有可行解的。因此完全可以先求对应的线性规划。
假设bjb_{j}bj不是整数对应的约束是XB(l)+∑aijxj=bjX_{B(l)}+\sum a_{ij}x_{j}=b_{j}XB(l)+∑aijxj=bj
通过分离整数部分与小数部分得到新的约束，使用对偶单纯形法求解。

（2）分枝定界法
这种方法在求解混整数规划尤为好用。先找最优解，根据是整数将可行域进行划分。假设是p1,p2 求解p1，p2的最优解,重复上面的操作。

小结：
最简单还是图解法，如果直接的图解法困难，尝试对偶的，如果还不行就老老实实计算就可以了。