1 基本积分表

1.1 三角函数相关

∫tan⁡xdx=−ln⁡cos⁡x+C\int \tan x dx = - \ln \cos x + C∫tanxdx=−lncosx+C

∫cot⁡xdx=ln⁡sin⁡x+C\int \cot x dx = \ln \sin x + C∫cotxdx=lnsinx+C

∫sec⁡xdx=ln⁡sec⁡x+tan⁡x+C\int \sec x dx = \ln \sec x + \tan x + C∫secxdx=lnsecx+tanx+C

∫csc⁡xdx=−ln⁡csc⁡x−cot⁡x+C\int \csc x dx = - \ln \csc x - \cot x + C∫cscxdx=−lncscx−cotx+C

∫dxcos⁡2xdx=∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int \frac{dx}{\cos ^ 2 x} dx = \int \sec ^ 2 x dx = \tan x + C∫cos2xdx​dx=∫sec2xdx=tanx+C

∫dxsin⁡2xdx=∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\int \frac{dx}{\sin ^ 2 x} dx = \int \csc ^ 2 x dx = -\cot x + C∫sin2xdx​dx=∫csc2xdx=−cotx+C

∫sec⁡xtan⁡xdx=∫sin⁡xcos⁡2xdx=ln⁡sec⁡x+C\int \sec x \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos ^ 2 x} dx = \ln \sec x + C∫secxtanxdx=∫cos2xsinx​dx=lnsecx+C

∫csc⁡xcot⁡xdx=∫cos⁡xsin⁡2xdx=−ln⁡csc⁡x+C\int \csc x \cot x dx = \int \frac{\cos x}{\sin ^ 2 x} dx = -\ln \csc x + C∫cscxcotxdx=∫sin2xcosx​dx=−lncscx+C

In=∫0π2sin⁡nxdx=∫0π2cos⁡nxdx=n−1nIn−2I_n = \int _{0} ^ {\frac{\pi}{2}} \sin ^ n x dx = \int _{0} ^ {\frac{\pi}{2}} \cos ^ n x dx = \frac{n - 1}{n} I _{n-2}In​=∫02π​​sinnxdx=∫02π​​cosnxdx=nn−1​In−2​

1.2 反三角函数相关

∫dxa2+x2dx=1aarctanxa+C\int \frac{dx}{a ^ 2 + x ^ 2} dx = \frac{1}{a}\ arctan {\frac{x}{a}} + C∫a2+x2dx​dx=a1​ arctanax​+C

∫dxa2−x2dx=arctan⁡xa+C\int \frac{dx}{\sqrt{a ^ 2 - x ^ 2}} dx = \arctan {\frac{x}{a}} + C∫a2−x2​dx​dx=arctanax​+C

∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsin⁡xa+C\int \sqrt{a ^ 2 - x ^ 2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a ^ 2 - x ^ 2} + \frac{a ^2}{2}\arcsin {\frac{x}{a}} + C∫a2−x2​dx=2x​a2−x2​+2a2​arcsinax​+C

1.3 杂项

∫dxa2−x2dx=12aln⁡a+xa−x+C\int \frac{dx}{a ^ 2 - x ^ 2} dx= \frac{1}{2a} \ln \frac{a + x}{a - x} + C∫a2−x2dx​dx=2a1​lna−xa+x​+C

∫dxx2−a2dx=12aln⁡x−ax+a+C\int \frac{dx}{x ^ 2 - a ^ 2} dx= \frac{1}{2a} \ln \frac{x - a}{x + a} + C∫x2−a2dx​dx=2a1​lnx+ax−a​+C

∫axdx=axln⁡a+C\int a ^ x dx = \frac{a ^x}{\ln a} + C∫axdx=lnaax​+C

∫dxx2±a2=ln⁡(x+x2±a2)+C\int \frac{dx}{\sqrt {x ^ 2 \pm a ^2}} = \ln (x + \sqrt{x ^ 2 \pm a ^2}) + C∫x2±a2​dx​=ln(x+x2±a2​)+C

∫x2+a2dx=x2x2+a2+a22ln⁡(x+x2+a2)+C\int \sqrt{x ^ 2 + a ^ 2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x ^ 2 + a ^ 2} + \frac{a ^ 2}{2} \ln (x + \sqrt{x ^2 + a ^ 2}) + C∫x2+a2​dx=2x​x2+a2​+2a2​ln(x+x2+a2​)+C

∫x2−a2dx=x2x2−a2−a22ln⁡(x+x2−a2)+C\int \sqrt{x ^ 2 - a ^ 2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x ^ 2 - a ^ 2} - \frac{a ^ 2}{2} \ln (x + \sqrt{x ^2 - a ^ 2}) + C∫x2−a2​dx=2x​x2−a2​−2a2​ln(x+x2−a2​)+C

2 求导公式

y=C,y′=0y = C, y' = 0y=C,y′=0

y=xn,y′=nxn−1y = x^n, y' = nx^{n - 1}y=xn,y′=nxn−1

y=sinx,y′=cosxy = sinx, y' = cosxy=sinx,y′=cosx

y=cosx,y′=−sinxy = cosx, y' = -sinxy=cosx,y′=−sinx

y=tanx,y′=1cos2x=sec2xy = tanx, y' = \frac{1}{cos^2x} = sec^2xy=tanx,y′=cos2x1​=sec2x

y=cotx,y′=−1sin2x=−csc2xy = cotx, y' = - \frac{1}{sin^2x} = -csc^2xy=cotx,y′=−sin2x1​=−csc2x

y=secx,y′=secx⋅tanxy = secx, y' = secx \cdot tanxy=secx,y′=secx⋅tanx

y=cscx,y′=−cscx⋅cotxy = cscx, y' = -cscx \cdot cotxy=cscx,y′=−cscx⋅cotx

y=ln∣x∣,y′=1xy = ln|x|, y' = \frac{1}{x}y=ln∣x∣,y′=x1​

y=logax,y′=1xlnay = log_a x, y' = \frac{1}{xlna}y=loga​x,y′=xlna1​

y=ex,y′=exy = e^x, y' = e^xy=ex,y′=ex

y=ax,y′=axlna(a>0,a≠1)y = a^x, y' = a^xlna (a > 0, a \ne 1)y=ax,y′=axlna(a>0,a̸​=1)

y=arcsinx,y′=11−x2y = arcsinx, y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}y=arcsinx,y′=1−x2​1​

y=arctanx,y′=11+x2y = arctanx, y' = \frac{1}{1 + x^2}y=arctanx,y′=1+x21​

y=arccotx,y′=−11+x2y = arccotx, y' = -\frac{1}{1 + x^2}y=arccotx,y′=−1+x21​

3 重要极限

3.1 两个重要极限

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1x→0lim​xsinx​=1

lim⁡x→0(1+x)1x=lim⁡x→∞(1+1x)x=e≈2.71828\lim _{x \to 0} (1 + x)^\frac{1}{x} = \lim _{x \to \infty } (1 + \frac{1}{x})^x = e \approx 2.71828x→0lim​(1+x)x1​=x→∞lim​(1+x1​)x=e≈2.71828

3.2 常用的等价无穷小

sin⁡x∼x,tan⁡x∼x,arcsin⁡x∼x,arctan⁡x∼x\sin x \sim x, \tan x \sim x, \arcsin x \sim x, \arctan x \sim xsinx∼x,tanx∼x,arcsinx∼x,arctanx∼x

ex−1∼x,ln⁡(1+x)∼x,(1+x)α−1∼αx,1−cos⁡x∼12x2e ^ x - 1 \sim x, \ln (1 + x) \sim x, (1 + x) ^ \alpha - 1 \sim ~ \alpha x, 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x ^ 2ex−1∼x,ln(1+x)∼x,(1+x)α−1∼ αx,1−cosx∼21​x2

3.3 泰勒展开式(函数的幂级数展开式)

当 x→0x \to 0x→0 时（作为幂级数展开式的xxx的取值范围）

ex=1+x+x22!+x33!+⋯=∑n=0∞xnn!(−∞&lt;x&lt;+∞)e ^ x = 1 + x + \frac{x ^ 2}{2!} + \frac{x ^ 3}{3!} + \dots = \sum _{n = 0} ^ {\infty} \frac{x ^ n}{n!} (- \infty &lt; x &lt; + \infty)ex=1+x+2!x2​+3!x3​+⋯=n=0∑∞​n!xn​(−∞<x<+∞)

sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯=∑k=0∞(−1)kx2k+1(2k+1)!(−∞&lt;x&lt;+∞)\sin x = x - \frac{x ^ 3}{3!} + \frac{x ^ 5}{5!} - \dots = \sum _{k = 0} ^ {\infty} (-1) ^ k \frac{x ^ {2k + 1}}{(2k + 1)!} (- \infty &lt; x &lt; + \infty)sinx=x−3!x3​+5!x5​−⋯=k=0∑∞​(−1)k(2k+1)!x2k+1​(−∞<x<+∞)

cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯=∑k=0∞(−1)kx2k(2k)!(−∞&lt;x&lt;+∞)\cos x = 1 - \frac{x ^ 2}{2!} + \frac{x ^ 4}{4!} - \dots = \sum _{k = 0} ^ {\infty} (-1) ^ k \frac{x ^ {2k}}{(2k)!} (- \infty &lt; x &lt; + \infty)cosx=1−2!x2​+4!x4​−⋯=k=0∑∞​(−1)k(2k)!x2k​(−∞<x<+∞)

ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯=∑n=0∞(−1)n+1xnn(−1&lt;x≤+1)\ln(1 + x) = x - \frac{x ^ 2}{2} + \frac{x ^3}{3} - \dots = \sum _{n = 0} ^ {\infty} (-1) ^ {n + 1} \frac{x ^ {n}}{n} (- 1 &lt; x \le + 1)ln(1+x)=x−2x2​+3x3​−⋯=n=0∑∞​(−1)n+1nxn​(−1<x≤+1)

arctan⁡x=x−x33+x55−⋯=∑k=0∞(−1)kx2k+12k+1(−1≤x≤+1)\arctan x = x - \frac{x ^ 3}{3} + \frac{x ^ 5}{5} - \dots = \sum _{k = 0} ^ {\infty} (-1) ^ k \frac{x ^ {2k + 1}}{2k + 1} (- 1 \le x \le + 1)arctanx=x−3x3​+5x5​−⋯=k=0∑∞​(−1)k2k+1x2k+1​(−1≤x≤+1)

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2⋯=∑k=0∞α(α−1)…[α−(n−1)]n!xn(−1&lt;x&lt;+1)(1 + x) ^ \alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!}x^2\dots = \sum _{k = 0} ^ {\infty} \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots [\alpha - (n - 1)]}{n!} x ^ n (- 1 &lt; x &lt; + 1)(1+x)α=1+αx+2!α(α−1)​x2⋯=k=0∑∞​n!α(α−1)…[α−(n−1)]​xn(−1<x<+1)

4 分部积分法

设u(x),v(x)u(x), v(x)u(x),v(x)均有连续的导数，则

∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)−∫v(x)du(x)\int u(x)dv(x) = u(x)v(x) - \int v(x)du(x)∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)−∫v(x)du(x)

5 华里士公式（点火公式）

In=∫0π2sin⁡nxdx=∫0π2cos⁡nxdxI_n = \int _0 ^ {\frac{\pi}{2}} \sin ^ n x dx = \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \cos ^ n x dxIn​=∫02π​​sinnxdx=∫02π​​cosnxdx

={n−1nn−3n−2…3412π2,n=2k+2n−1nn−3n−2…4523,n=2k+31,n=1(k≥0)=\left\{ \begin{aligned} &amp; \frac{n - 1}{n} \frac{n - 3}{n - 2} \dots \frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{\pi}{2} , n = 2k + 2\\ &amp; \frac{n - 1}{n} \frac{n - 3}{n - 2} \dots \frac{4}{5} \frac{2}{3} , n = 2k + 3\\ &amp; 1, n = 1 \end{aligned}(k \ge 0) \right. =⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​​nn−1​n−2n−3​…43​21​2π​,n=2k+2nn−1​n−2n−3​…54​32​,n=2k+31,n=1​(k≥0)

6 伽马函数

6.1 函数形式

含参变量s(s&gt;0)s(s&gt; 0)s(s>0)的反常积分

Γ(s)=∫0+∞xs−1e−xdx,x&gt;0\Gamma (s) = \int _ {0} ^ {+ \infty } x ^ {s - 1} e ^ {-x} dx, x &gt; 0Γ(s)=∫0+∞​xs−1e−xdx,x>0

6.2 函数性质

6.2.1 递推公式

Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma (x + 1) = x \Gamma (x) Γ(x+1)=xΓ(x)

于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：

Γ(n)=(n−1)!\Gamma (n) = (n - 1)!Γ(n)=(n−1)!

6.2.2 贝塔函数

B(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n)B(m, n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma (n)}{\Gamma (m + n)}B(m,n)=Γ(m+n)Γ(m)Γ(n)​

6.2.3 伽马分布

在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布：

f(X)=Xα−1λαe−λXΓ(α),X&gt;0f(X) = \frac{X^{\alpha - 1} \lambda^{\alpha} e^{-\lambda X}}{\Gamma (\alpha )}, X &gt; 0f(X)=Γ(α)Xα−1λαe−λX​,X>0

6.2.4 余元公式

对x∈(0,1)x \in (0, 1)x∈(0,1)有

Γ(1−x)Γ(x)=πsinπx\Gamma (1 - x) \Gamma(x) = \frac{\pi}{sin \pi x}Γ(1−x)Γ(x)=sinπxπ​

这个公式称为余元公式。

由此可以推出以下重要的概率公式：

Γ(12)=π\Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}Γ(21​)=π​

6.2.5 凹函数

对于x&gt;0x &gt; 0x>0，伽马函数是严格凹函数。

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