常用数学公式,推导记录
1 组合数计算公式
组合公式的推导由排列公式去掉重复的部分得来。
排列是,从n个不相同元素中取出m个排成一列(有序),第一个位置可以有n个选择,第二个位置可以有n-1个选择(已经有1个放在前一个位置),则同理可知第三个位置可以有n-2个选择,以此类推第m个位置可以有n-(m-1)个选择,则排列数公式为:
组合是,从n个不同的元素中取出m个成为一组(无序),显然,m个元素组成的一组可以有
种不同的排列(全排列)。
所以,每m!个排列中,只有一个组合, 故组合的计算公式就是
参考文献:
[1]组合数公式_百度百科
[2] 组合数_百度百科
2 最小二乘法
工程上,常常要根据两个变量的多组实验数值,找出这两个变量间的函数关系的近似表达式。
- 首先,要确定这个近似表达式f(t)的类型:假设近似为线性函数f(t)=at+b。其中a,b为常数。
- 如何确定常数a,b?
最理想的情况是使直线f(t)=ax+b经过源数据中的(x,y)各点,但在实际上是不可能的,因为这些点本来就不在同一条直线上。
因此,只能要求选取这样的a,b使得f(t)=at+b在t0 ~ tn处的函数值与实验数据y0 ~ yn相差都很小,就是要使偏差yi - f(ti) (i=0,1,…,n)都很小。如何达到这一要求呢?能否使偏差的和(y0-f(t0)) +… +(yn-f(tn))很小来保证每个偏差都很小呢?不能,因为偏差有正有负,在求和时,可能互相抵消。为了避免这种情形,可对偏差取绝对值再求和,只要|(y0-f(t0))| +… + |(yn-f(tn))|很小,就可以保证每个偏差的绝对值都很小。但是这个式子中有绝对值记号,不便于进一步分析讨论。由于任何实数的平方都是正数或零,因此可以考虑选取常数a与b,使
(y0-f(t0)) ^ 2 +… + (yn-f(tn)) ^2最小来保证每个偏差的绝对值都很小。
这种根据,“偏差的平方和为最小”的条件,来选择常数a与b的方法叫做最小二乘法。
3 sigmoid函数
sigmoid 函数:
其函数图像如下:
可以看出,sigmoid函数连续,光滑,严格单调,以(0,0.5)中心对称,是一个非常良好的阈值函数。
当x趋近负无穷时,y趋近于0;趋近于正无穷时,y趋近于1;x=0时,y=0.5。当然,在x超出[-6,6]的范围后,函数值基本上没有变化,值非常接近,在应用中一般不考虑。
Sigmoid函数的值域范围限制在(0,1)之间,我们知道[0,1]与概率值的范围是相对应的,这样sigmoid函数就能与一个概率分布联系起来了。
Sigmoid函数的导数是其本身的函数,即f′(x)=f(x)(1−f(x)),计算非常方便,也非常节省计算时间。推导过程如下:
根据常用的求导公式,得到:
f′(x)=(−1)(1+e−x)−2(0+(−1)e−x)=e−x(1+e−x)2=e−x1+e−x11+e−x
参考文献:Sigmoid函数 - saltriver的专栏 - CSDN 博客
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