控制系统|反馈系统的稳定性分析

稳定性分析

稳定系统包括绝对稳定性和相对稳定性，一般的，稳定性指绝对稳定性。引入相对稳定性可以衡量其稳定程度。

一般来说，系统稳定性越高，机动性越差。

稳定系统是指在有界输入作用下，输出响应也有界的动态系统。

确定一个系统是否稳定（绝对稳定）的方法是，判断传递函数的所有极点或者系统矩阵A的特征值是否都位于s平面的左半平面。
反馈系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的所有极点均有负的实部。

常见的判定系统稳定性的方法（无需求解特征方程的根）分为三种：s平面法，频域法（jw平面）法和时域法。

劳斯稳定性判据：
n阶系统特征方程的一般形式为
将上式等号左右同时除以 ,并定义替代变量可以得到特征方程的一种标准形式：
sn+an−1sn−1+an−2sn−2+⋯+a1s+ωnn=0{s^n} + {a_{n - 1}}{s^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{s^{n - 2}} + \cdots + {a_1}s + \omega _n^n = 0sn+an−1sn−1+an−2sn−2+⋯+a1s+ωnn=0
将上式等号左右同时除以 ,并定义替代变量可以得到特征方程的一种标准形式：
s∗n+bs∗n−1+c∗s∗n−2+⋯+1=0{{\overset{*}{\mathop{s}}\,}^{n}}+b{{\overset{*}{\mathop{s}}\,}^{n-1}}+{{c}^{*}}{{\overset{*}{\mathop{s}}\,}^{^{n-2}}}+\cdots +1=0s∗n+bs∗n−1+c∗s∗n−2+⋯+1=0

上表总结了六阶以内特征方程的稳定性判据。

反馈系统的相对稳定性

相对稳定性是由特征方程的实根，或者共轭负根的实部决定的系统特性。
反馈系统的相对稳定性取决于闭环极点在s平面上的位置分布。可以采用移动虚轴的方式来分析系统的相对稳定性。

当分析状态变量系统的稳定性时，由系统矩阵A可通过poly函数来计算矩阵A的特征多项式，然后通过roots函数求解特征方程的根，判断极点是不是都在s的左半平面，分析系统的稳定性。

状态方程

系统状态及其响应由状态向量(x1,x2,⋯,xn)\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)(x1,x2,⋯,xn)和输入信号(u1,u2,⋯,um)\left( {{u_1},{u_2}, \cdots ,{u_m}} \right)(u1,u2,⋯,um) 的一阶微分方程组描述。
状态变量组构成的列向量称为状态向量，记为x=[x1x2⋮xn]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right]x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤，u表示输入信号向量。系统可以简写为状态微分方程的形式：
x.=Ax+Bu\mathop {\bf{x}}\limits^. = {\bf{Ax}} + {\bf{Bu}}x.=Ax+Bu

状态微分方程将系统状态变量的变化率与系统的状态和输入信号联系在一起，而系统的输出则常常通过输出方程与系统状态变量和输入信号联系在一起，即 y=Cx+Du{\bf{y}} = {\bf{Cx}} + {\bf{Du}}y=Cx+Du。其中y是列向量形式的输出信号。系统的状态空间（或状态变量）模型同时包括了状态微分方程和输出方程。

运用matlab对控制系统稳定性进行判定

1、代数稳定判据

根据系统闭环特征多项式方程的所有根实部小于0，则系统是稳定的。手工求解高次方程的根不太容易，可利用matlab的roots函数。
给定系统开环传递函数，判断单位闭环系统的稳定性。
编写如下程序：

num=[100 200];
den=conv([1 0],conv([1 1],[1 20]));
sys1=tf(num,den);
sys=feedback(sys1,1 )
roots(sys.den{1 })

执行程序的结果为：ans =-12.8990 -5.0000 -3.1010
表明所有特征根的实部均为负值，故该系统是稳定的。

2、根轨迹法

根轨迹法是指当开环系统某一参数从零变到无穷大时, 闭环系统特征方程的根在S平面上移动的轨迹。根轨迹法可以用于研究改变系统某一参数(如开环增益)对系统根轨迹的影响。利用系统根轨迹函数 rlocus(sys)来绘制 SISO 的LTI对象的根轨迹图。其给定前向通道传递函数G(s)，反馈增益为 K 的受控对象(反馈增益K取值为0到无穷)，闭环传递函数为SYS=G(S)1+KG(S){\rm{SYS}} = \frac{{G(S)}}{{1 + KG(S)}}SYS=1+KG(S)G(S)
函数可在当前图形窗口中绘出系统的根轨迹图。其中极点用“×”表示, 零点用“○”表示。利用鼠标操作函数命令[k,poles]= rlocfind(sys),可在图形窗口根轨迹图中显示“十”字形光标, 当选择根轨迹上的某一点时, 其相应的增益由变量K记录,与此增益相关的所有极点记录在变量poles中,从显示所有极点的数值(即位置),就可判断系统的稳定性。
以传递函数G(S)=K(S+2)S(S+1)(S+20)G(S) = K\frac{{(S + 2)}}{{S(S + 1)(S + 20)}}G(S)=KS(S+1)(S+20)(S+2)为例子来判别闭环系统的稳定性。
编写如下程序:

num=[1 2];
den=conv([1 0],conv([1 1],[1 20]));
G=tf(num,den);
rlocus(G)
[k,poles]=rlocfind(G)

执行[k,poles]=rlocfind(G)语句后，根轨迹窗口上有纵横两条坐标线，其焦点随鼠标而移动。当交点指在根轨迹负实轴上某一点上时，其相应的增益由变量K记录。与增益相关的所有极点记录在变量poles中。只要交点在根轨迹负实轴上的任一位置，系统全部闭环极点的实部都为负值，也就是闭环系统是稳定的。

3、Bode图

根据系统Bode图计算出相角稳定裕度γ>0,闭环系统稳定，否则系统不稳定。利用matlab函数margin()来绘制Bode图和计算频域指标；设单位负反馈系统开环传递函数为
G(S)=100(S+2)S(S+1)(S+20)G(S) = 100\frac{{(S + 2)}}{{S(S + 1)(S + 20)}}G(S)=100S(S+1)(S+20)(S+2)
编写如下程序：

num=[100 200];
den=conv([1 0],conv([1 1],[1 20]));
G=tf(num,den);
[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(G);
margin(G)

[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(G)%幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率wcg、截止频率wcp

由图看出相角稳定裕度为65.4°>0，课件系统闭环稳定，且稳定裕度较大。