在数学上有一个著名的“阿克曼函数”，它是二元函数，其定义式为：

(１)ACK(0, N)＝1＋Ｎ

(２)ACK(M,0)＝ ACK(M-1, 1)(Ｍ>０)

(３)ACK(M, N) ＝ ACK(M-1，ACK(M, N-1)) (Ｍ>0, Ｎ>０)

试用手工求解ACK(3, 7) 的值。

因为这个函数是用递归方式定义的，如果使用递归算法编程求解并不困难。但是，要解这个具体问题，还必须经过将近 70万次 (693964次) 递归调用 !

显然，局限于递归算法，要想用手工求解这个问题是极其困难的，甚至是不可能的！

要想能用手工求解这个困难问题，唯有另想办法，另辟蹊径。

本文给出手工求解这个难题的一种高效算法。

这种高效率算法的基本思路是：先将这个二元函数 ACK(M,N) 的函数值排成一个对应的M行N列的二维数组，并将此数组每一行视为一个数列。只要能求得第M- 1行对应数列的首项值和通项公式：

ACK(M-1，0)和 ACK(M-1，N)= f(N)，

然后，根据式 (2)和式 (3)，即可以得到第M行对应数列的首项值

ACK(M，0)＝ ACK(M-1, 1)

和数列中相邻项的关系公式：

ACK(M，N)＝ ACK(M-1，ACK(M, N-1))= f [ACK(M，N-1)]

据此，依次推导出Ｍ＝０，Ｍ＝１，Ｍ＝２时对应的数列通项公式后，即可以得到待求的 ACK(3,4) 的函数值了。

(注意：因为各个数列首项N=0，对应的 n=1，所以有：n= N+1。)

具体求解步骤如下：

1、式(1)就是M=0对应通项公式。这是一个首项的值为 1，公差为1的等差数列。

2、推导Ｍ＝1对应数列的通项公式。

由式(2)和式(1)可得到数列的首项(N=0)的值为：

(4)ACK(1，0)=ACK(0，1)=1+1=2

由式(3)和式(1)可得到数列中相邻两项的关系公式为：

(5)ACK(1,N)＝ ACK(1，N-1)+ 1

(6)ACK(1，N)＝ 2 + N 。

3、推导M=2对应数列的通项公式。

由式(2)和式(6)可得到数列的首项(N=0)的值为

(7)ACK(2，0)=ACK(1，1) ＝2+1= 3 ，

由式(3)和式(6)可得到数列相邻项的关係公式：

(8)ACK(2, N)＝ ACK(1,ACK(2, N-1))＝ 2 + ACK(2, N-1)

显然，这是一个公差为2 的等差数列。

综合式(7)和式(8)得到：M=2对应的数列是一个首项为3，公差为 2的等差数列。通项公式为：

(9)ACK(2，N)＝3 + 2*N 。

4、等待求值的ACK(3, 7)属于M=3对应的数列。为了求ACK(3, 7)的值，先推导M=3对应数列的首项(N=0)值和数列相邻项的关係公式。

由式(2)和式(9)，可得到数列的首项(N=0)的值为

(10)ACK(3，0)=ACK(2，1)=3 + 2*1=5

由式(3)和式(9)可得到数列相邻项的关係公式：

(11) ACK(3, N)＝ ACK(2,ACK(3, N-1))＝ 3 + 2*ACK(3, N-1) 。

根据M=3对应数列的这个两个基本特牲，有两种可供选择的求值方法。

方法一：求数列通项公式法。

式(11)表明：当M=3时对应的数列，它的相邻项之间的关系是一种典型的线性关系，其通式为：

An+1＝ K* An + B 。(K和B是常数)。

下面讨论：在这样的相邻项关系条件下的数列通项公式推导方法。

1、当K＝0时，这是一个常数列：An ＝ B ；

2、当K＝1，B=0时，这也是一个常数列：An ＝ A1 ；

3、当K≠1，B＝0时，这是一个公比为K的等比数列，An ＝Kn -1 *A1 ；

4、一般情况(当K≠0，1，B≠0时)：

A2 ＝K* A1 + B

A3 ＝K* A2 + B＝K*(K* A1 + B)+ B＝K2 *A1 + B*K + B

… …

An ＝Kn -1 *A1 + ( B*K n -2 + B*K n -3 + … + B*K 1+ B )

注意 ：括号中就是“首项为B，公比为K的等比数列的前(n －1)项之和”!

根据等比数列的前(n －1)项的求和公式，得到括号中的求和结果

Sn= B*= *Kn –1 － ，

从而得到结论：当相邻项之间的关系是An+1＝ K* An + B 时，数列的通项公式为

(12) An ＝Kn -1 *A1 + Sn＝Kn -1 *(A1＋)－ 。 ( n＝1,2,3, …)

具体到本文的问题，对照(10)式和(11)式知道：A1 ＝ ACK(3, 0) ＝ 5, K＝2，B＝3。

代入(12)式，并注意到 n＝N+1, 就可以得到M=3对应数列的通项公式 ：

(13) ACK(3，N) ＝ 2N*(5＋)－ ＝ 2N + 3 － 3。

将N＝7代入(13)式，立即得到答案：

ACK(3，7)＝ 27+ 3 － 3 ＝ 1021 。

方法二：递推法。

根据(10)式知道：A1 ＝ ACK(3，0)＝5，

再根据(11)式： ACK(3, N)＝ 3 + 2*ACK(3, N-1) 逐项进行递推求解：

ACK(3，1)＝2*5+3＝13

ACK(3，2)＝2*13+3＝29

ACK(3，3)＝2*29+3＝61

ACK(3，4)＝2*61+3＝125

ACK(3，5)＝2*125+3＝253

ACK(3，6)＝2*253+3＝509

ACK(3，7)＝2*509+3＝1021