一、基本信号

1.1信号的分类

1.1.1确定性信号和随机信号

对任意时刻，信号有确定的函数值，称为确定性信号。信号的取值在不同时刻随机变化则成为随机信号。

1.1.2周期信号与非周期信号

按某一固定周期重复出现的信号，可表示为 $f(t)=f(t+T)$ ，其中T的取值为R。例如无电阻损耗的理想LC电路的自然响应。

1.1.3连续时间信号与离散时间信号

连续时间信号：在所有连续时间值上均有定义，简称为连续信号或模拟信号。

离散时间信号：仅在一些离散时间点上才有定义，简称为离散信号。

1.1.4因果信号与非因果信号

因果信号：在 $t< 0$ 时， $f(t)=0$ ,则称为因果信号。无记忆系统属于因果信号。

非因果信号：周期信号均为非因果信号。

1.2常用的基本信号

1.2.1直流信号

$f(t)=A(-\infty<t< +\infty )$ ,属于非因果信号。

1.2.2正弦信号

$f(t)=Asin(wt+\varphi )$

1.2.3单位阶跃信号

$\varepsilon (t)=\left\{\begin{matrix} 1 (t>0)\\ 0 (t<0) \end{matrix}\right.$

1.2.4斜坡信号

$r(t)=\left\{\begin{matrix} t(t\geq 0)\\ 0(t<0) \end{matrix}\right.$

1.2.5实指数信号

$f(t)=Ae^{-\alpha t}(\alpha >0,t>0)$ ,属于因果信号

1.2.6复指数信号

$f(t)=Ae^{(\alpha +jw)t}$ ,若 $\alpha =0$ ，则f(t)为虚指数信号，若 $w=0$ ,则f(t)为实指数。

根据欧拉公式，复指数信号又可表示为： $f(t)=Ae^{^{\alpha t}}(cos wt+jsin wt)$

1.2.7降正弦函数

$Sa(t)=\frac{sint}{t}$

特点：（1）Sa(t)是偶函数；

（2）当t=0时，Sa(t)为最大值1；

（3）曲线呈震荡衰减，取无穷大时极限为0;

（4） $\int_{0}^{\infty }Sa(t)dt= \frac{\pi}{2},\int_{-\infty }^{\infty }Sa(t)dt= \pi$ ;

（5）sinc(t)的定义： $sinc(t)=\frac{sin\pi t}{\pi t}=Sa(\pi t)$ ;

1.3信号的基本处理

1.3.1相加与相乘

相加

相乘

1.3.2反转与延时

将自变量t换成-t可得到另一个函数f(-t)，称为信号的反转；

将自变量t换成 $t\pm t_{0}$ , $t_{0}$ 为正的实常数，可得新信号 $f(t\pm t_{0})$ .

1.3.3压缩与扩展

将自变量t换成at可得到另一个函数f(at),a为正实数，则信号f(t)将在时间尺度上压缩或扩展。

1.3.4微分与积分

f(t)的一阶导数： $\frac{df(t)}{dt}=f'(t)=f^{(1)}t$

f(t)的二阶导数： $\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}=f''(t)=f^{(2)}t$

f(t)的积分表示： $y(t)=\int_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau =f^{(-1)}(t)$

1.3单位冲激函数

1.3.1冲激函数的定义

冲激函数是一个奇异函数，定义为 $\begin{cases} \delta (t)=0& t\neq 0 \\ \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1 \end{cases}$ ,解释为在0这一刻瞬间出现又立即消失的信号，且幅值无限大；在其他时刻始终为0.

阶跃信号与冲激信号的确切关系：单位冲激信号的积分为单位阶跃信号，单位阶跃信号的导数应为单位冲激信号。

单位冲激函数： $\delta (t)=\frac{d\varepsilon (t)}{dt}$ ； $\varepsilon (t)=\int_{-\infty }^{t}\delta (\tau )d\tau$ ;

1.3.2冲激函数的性质

1. $\delta (t)$ 是偶函数: $\delta (t)=\delta (-t)$

2. $\delta (t)$ 具有取样性；

二、傅里叶级数

2.1傅里叶级数

给定一个周期为T的函数x(t)，当周期信号满足狄里赫利条件时，可用傅里叶级数表示。

狄里赫利条件：(1)在单个周期内只有有限个极大值和极小值，且只有有限个第一类不连续点;

(2)在单个周期内 $f(t)$ 绝对可积，即 $\int_{-\pi /2}^{\pi /2}\left | f(t) \right |dt<\infty$ .

表示为无穷级数： $x(t)=\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jkw_{0}t}=\sum_{-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jk(2\pi /T)t}$ ;

基波频率为 $w_{0}$ ，基波周期 $T=2\pi /w_{0}$ .

基波分量： $k=\pm 1$ 合在一块称为基波分量或一次谐波分量。

2.2傅里叶级数的表示形式

2.1.1三角级数表示

三角形式： $f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos \, nw_{1}t+b_{n}sin\, nw_{1}t)$ ;

其中 $w_{1}=2\pi /T$ 为基波角频率， $nw_{1}$ 称为n次谐波的频率； $a_{0}$ 为直流分量。

系数求解：

$a_{0}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T }{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt;a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T }{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos\, nw_{1}tdt;b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T }{2}}f(t)sin\, nw_{1}tdt.$

系数的求解思路： $a_{0}$ 可直接使用在单个周期内进行积分，因为cos与sin在周期内积分为0， $a_{n}$ 、 $b_{n}$ 则可以利用三角函数的正交性进行求解， $a_{n}$ 直接乘以 $cos\, nw_{1}$ ,除 $cos\, nw_{1}$ 自身外都可以正交积分为0， $b_{n}$ 直接乘以 $sin \, nw_{1}$ ,除 $sin \, nw_{1}$ 自身外都可以正交积分为0.

傅里叶级数又可表示为余弦实函数： $f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }A_{n}cos(nw_{1}t+\varphi _{n})$ ;

其中 $a_{n}=A_{n}cos\varphi _{n},b_{n}=-A_{n}sin\varphi _{n}$ ; $A_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}};\varphi _{n}=-arctan(\frac{b_{n}}{a_{n}})$ .

2.1.2复指数级数表示

使用欧拉公式将三角形式转换成复指数形式，即

$f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\frac{e^{jnw_{1}t}+e^{-jnw_{1}t}}{2}+b_{n}\frac{e^{jnw_{1}t}-e^{-jnw_{1}t}}{2j})$

化简后则有 $f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{a_{n}-jb_{n}}{2}e^{jnw_{1}t}+\frac{a_{n}+jb_{n}}{2}e^{-jnw_{1}t})$ ,

令 $F_{0}=a_{0},F_{n}=\frac{a_{n}-jb_{n}}{2}$ ,由 $a_{n}=A_{n}cos\varphi _{n},b_{n}=-A_{n}sin\varphi _{n}$

可知 $a_{n}=a_{-n},b_{n}=-b_{-n}$ ，

可得 $F_{-n}=\frac{a_{n}+jb_{n}}{2}$ ， $f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(F_{n }\,e^{jnw_{1}t}+F_{-n }\,e^{-jnw_{1}t})$

可化简为 $f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty }F_{n }\,e^{jnw_{1}t}$

其系数为 $F_{n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\,e^{-jnw_{1}t}dt$ .

$F_{n}$ 可视为各次谐波 $nw_{1}$ 的函数，可表示为 $F_{n}=\left | F_{n} \right |e^{j\varphi _{n}};F_{-n}=\left | F_{n} \right |e^{-j\varphi _{n}}$ , $\left | F_{n} \right |$ 为各次谐波的幅度， $\varphi _{n}=nw_{1}$ 为其相位。

每对频率项可合成一个余弦实数项，即 $F_{n }\,e^{jnw_{1}t}+F_{-n }\,e^{-jnw_{1}t}=2\left | F_{n} \right |cos(nw_{1}t+\varphi _{n})$ .各谐波振幅为 $A_{n}=2\left | F_{n} \right |$ .

三、傅里叶变换

3.1傅里叶变换

3.1.1 傅里叶变换的定义

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

3.1.2傅里叶变换的分类

非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）

周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)

非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）

周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

3.1.3傅里叶级数到傅里叶变换

正变换的推导：

已知复指数形式的周期信号有以下关系： $f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty }F_{n }\,e^{jnw_{1}t}$ ； $F_{n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\,e^{-jnw_{1}t}dt$

而 $F_{n}$ 可视为离散值 $nw_{1}$ 的函数，则 $F(nw_{1})=F_{n}T=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\,e^{-jnw_{1}t}dt$

当 $T\rightarrow \infty$ 时，谱线高度 $F_{n}$ 和谱线间隔 $w_{1}$ 趋于无穷小，则 $w_{1}$ 可用 $dw$ 代替， $nw_{1}$ 变为连续变量 $w$ ，且 $T=\frac{2\pi }{w_{1}}=\frac{2\pi }{dw}$ ;

即可推导出 $F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt$ ；同时 $F(w)=\lim_{T\rightarrow \infty }F_{n}T=\frac{2\pi F_{n} }{dw}$ ,可见 $F(w)$ 相当于单位频率所占的幅度，具有密度的意义，一般情况下为连续谱。

反变换的推导：

根据上面的公式可得 $F_{n}$ 又可表示为： $F_{n}=\frac{dw }{2\pi}F(w)$ ,再代入到 $f(t)$ 与 $F_{n}$ 的表达式中可得，同时将 $nw_{1}$ 换成 $w$ ，求和变成积分

可得： $f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{jwt}dw$

3.1.4连续傅里叶变换的正反变换

正变换： $F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt$ ; $F(w)=\wp [f(t)]$

反变换： $f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{jwt}dw$ ; $f(t)=\wp ^{-1}[F(w)]$

3.1.5离散傅里叶变换的正反变换

正变换： $X(e^{jw})=\sum_{-\infty }^{\infty}x[n]e^{-jwn}$

反变换： $x[n]=\frac{1}{2\pi }\int_{2\pi }^{}X(e^{jw})e^{jwn}dw$

3.1.6 $F(w)$ 的复指数表现形式

频谱函数 $F(w)$ 一般为 $w$ 的复函数，则可将 $F(w)$ 记为 $F(jw)$ ,则可写成 $F()=\left | F(w) \right |e^{j\varphi (w)}$ ;

$\left | F(w) \right |$ 为幅度频谱，是偶函数， $\varphi (w)$ 为相位频谱，是奇函数；

$F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt$ $=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)cos\, wtdt-j\int_{-\infty }^{\infty }f(t)sin\, wtdt=R(w)-jX(w)$ ;

其中 $R(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)cos\, wtdt; X(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)sin\, wtdt$ ；

可得 $\left | F(w) \right |=\sqrt{R^{2}(w)+X^{2}(w)}$ ； $\varphi (w)=-arctan[\frac{X(w)}{R(w)}]$ ;

3.2常用信号的傅里叶变换

3.2.1门信号的傅里叶变换

门函数：幅度为1，宽度为 $\tau$ 的单个矩形脉冲，记为 $g_{\tau }(t)=\left\{\begin{matrix} 1\, (\left | t \right |<\frac{\tau }{2})\\ 0\, (\left | t \right |>\frac{\tau }{2}) \end{matrix}\right.$ ;

$F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }g_{\tau }(t)e^{-jwt}dt=\int_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}e^{-jwt}dt=\frac{e^{-j\frac{w\tau }{2}}-e^{j\frac{w\tau }{2}}}{-jw}$ $=\frac{2sin(\frac{w\tau }{2})}{w}=\tau \frac{sin\frac{w\tau }{2}}{\frac{w\tau }{2}}$ ;

令 $Sa(\frac{w\tau }{2})=\frac{sin(\frac{w\tau }{2})}{\frac{w\tau }{2}}$ ,则频谱为 $F(w)=\tau Sa(\frac{w\tau }{2})$ ;

3.2.2冲激信号的傅里叶变换

$F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-jwt}dt=1$ ,有变换对 $\delta (t)\leftrightarrow 1$ ,可见冲激信号的频谱为均匀谱。

3.2.3直流信号的傅里叶变换

设直流信号 $f(t)=1$ ,则有 $\delta (t)=\delta (-t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{-jwt}dw$ ,可推出 $\int_{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{-jwt}dt=2\pi \delta (w)$ ;即 $1\leftrightarrow 2\pi\delta (w)$ ;

3.2.4指数信号的傅里叶变换

设单边指数信号为 $f(t)=e^{-at}$ , $F(w)=\int_{0}^{\infty }e^{-\alpha t}\cdot e^{-jwt}dt=\int_{0}^{\infty }e^{-(\alpha +jw)t}dt=\frac{1}{\alpha +jw}$ ;

变换对： $e^{-\alpha t}\varepsilon (t)\leftrightarrow \frac{1}{\alpha +jw}$ ;

3.2.5符号信号的傅里叶变换

符号函数定义为： $sgn(t)=\left\{\begin{matrix} 1\, (t>0)\\ -1\, (t<0) \end{matrix}\right.$ ,由于不满足绝对可积条件，所以只能视为双边指数函数在0这一点的极限，即 $sgn(t)=\lim_{\alpha \rightarrow 0}e^{-\alpha t}\varepsilon (t)+\lim_{\alpha \rightarrow 0}-(e^{-\alpha t})\varepsilon (-t)$ ,则频谱为 $F(w)=\lim_{\alpha \rightarrow 0}(\frac{1}{\alpha +jw}-\frac{1}{\alpha -jw})=\frac{2}{jw}$ ;

3.2.6阶跃信号的傅里叶变换

单位阶跃函数可以用直流信号和符号函数表示为： $\varepsilon (t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)$ ,频谱可化为 $\varepsilon (t)\leftrightarrow \pi \delta (w)+\frac{1}{jw}$ ;

3.3傅里叶变换的性质

3.3.1线性性质

因为傅里叶变换本身就是线性变换，所以满足线性关系。

3.3.2脉冲展缩与频带变化

已知 $f(t)\leftrightarrow F(w)$ ，则 $f(at)\leftrightarrow \frac{1}{\left | a \right |}F(\frac{w}{a})$ ，表明了信号时域波形的压缩，对应其频谱图形的的扩展；信号时域波形的扩展对应其频谱图形的压缩，且展缩倍数一致。

3.3.3延时与相位移动

$f(t)$ 延时 $t_{0}$ 后，其对应的幅度频谱保持不变，但相位频谱中所有分量的相位均滞后 $wt_{0}$ .

3.3.4调制与频谱搬移

调制：乘以 $e^{jwt}$ 将信号抬升至高频区间；

解调：乘以 $e^{-jwt}$ 将信号搬移到低频区间；

频谱搬移： $f(t)e^{jwt}\leftrightarrow F(w-w_{0})$

3.3.5时-频对称性

信号的时域变化与其频谱特性之间存在一定的对称性，若 $f(t)\leftrightarrow F(w)$ ，则有 $F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-w)$ ;它表明了若函数 $f(t)$ 的频谱为 $F(w)$ ,则时间信号 $F(t)=F(w)|_{w=t}$ 对应的频谱为 $2\pi f(-w)=2\pi f(t)|_{t=-w}$ ;

3.3.6卷积定理

$f_{1}(t)\ast f_{2}(t)\leftrightarrow F_{1}(w)\cdot F_{2}(w)$ ,时域的卷积对应频域函数的相乘；

$f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi }F_{1}(w)\ast F_{2}(w)$ ,时域相乘对应频域卷积。

3.3.7时域微分

若 $f(t)\leftrightarrow F(w)$ ，则有 $\frac{df(t)}{dt}\leftrightarrow jwF(w)$ ;推广可得 $\frac{d^{n}f(t)}{dt^{n}}\leftrightarrow (jw)^{n}F(w)$

3.3.8时域积分

若 $f(t)\leftrightarrow F(w)$ ，则有 $\int_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau \leftrightarrow \pi F(0)\delta (w)+\frac{F(w)}{jw}$ ;

四、拉普拉斯变换

4.1拉普拉斯变换

4.1.1拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯正变换的推导：已知傅里叶变换为 $F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt$ ，乘以收敛因子 $e^{-\sigma t}$ , $\sigma$ 为实常数，则有 $F(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-(\sigma +jw)t}dt$ ;

令复频率 $s=\sigma +jw$ ,则有 $F(s)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ , $F(s)$ 称为信号 $f(t)$ 的双边拉普拉斯变换，简称双边拉氏变换。

拉普拉斯反变换的推导： $f(t)e^{-\sigma t}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }F(s)e^{jwt}dw$ ，利用了傅里叶变换的频谱搬移性质。再同乘以 $e^{\sigma t}$ ，可得 $f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }F(s)e^{(\sigma +jw)t}dw$ ,因为 $s=\sigma +jw$ ，且 $\sigma$ 为实常数，则有 $ds=jdw$ ,当 $w=\pm \infty$ 时，有 $s=\sigma \pm j\infty$ ,从而 $f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(w)e^{-st}dt$

4.1.2傅里叶到拉普拉斯

由于傅里叶变换需要满足狄里赫利条件，但大部分函数都是不满足其绝对可积条件的，所以采用一个衰减函数使其满足其绝对可积。

4.2常用信号的拉普拉斯变换

4.3拉普拉斯变换的性质

4.3.1线性性质

满足可加性与齐次性： $a_{1}f_{1}(t)+a_{2}f_{2}(t)\leftrightarrow a_{1}F_{1}(s)+a_{2}F_{2}(s)$

4.3.2延时性质

$f(t-t_{0})\varepsilon (t-t_{0})\leftrightarrow F(s)e^{-st_{0}}$

从t=0开始的周期信号的拉氏变换等于其第一周期波形的拉氏变换乘以 $\frac{1}{1-e^{-sT}}$ ;

即 $F(s)=F_{1}(s)\frac{1}{1-e^{-sT}}$

4.3.3微分定理

若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则有 $f^{'}(t)\leftrightarrow sF(s)-f(0_{-})$ ; $f^{''}(t)=s^{2}F(s)-sf(0_{-})-f(0_{-})$ ;

若 $f(t)$ 为有始函数，则 $f(0_{-})$ ,则有 $f^{'}(t)\leftrightarrow sF(s);f^{''}(t)\leftrightarrow s^{n}F(s)$ .

4.3.4积分定理

若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ , $\int_{0_{-}}^{t}f(\tau )d\tau \leftrightarrow \frac{F(s)}{s}$ ;

4.2.5卷积定理

$f_{1}(t)\ast f_{2}(t)\leftrightarrow F_{1}(s)\cdot F_{2}(s)$

4.2.6初值与终值定理

若信号在0处不含冲激函数，则初值定理为 $f(0_{+})=\lim_{s\rightarrow \infty }sF(s)$ ，中值定理为 $f(\infty)=\lim_{s\rightarrow 0_{+} }sF(s)$ .

五、附录

5.1.1傅里叶变换的性质

5.1.2周期信号的傅里叶变换

5.1.3非周期信号的傅里叶变换

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