【2019牛客暑期多校训练营（第七场）E】Find the median【权值线段树】

题意：

初始序列为空。一共 NNN 次操作，每次操作往序列中加入区间 [L,R][L,R][L,R] 中的所有数。每次操作结束后询问当前序列中的中位数。(1≤N≤4∗105,1≤L≤R≤109)(1\leq N\leq 4*10^5,1\leq L\leq R\leq 10^9)(1≤N≤4∗105,1≤L≤R≤109)

思路：

涉及到了中位数，因此不难想到权值线段树。但是每次是对一个区间 +1+1+1，而且这个区间范围非常大，因此显然不能将整个区间的数存下来。对区间的端点进行离散化是一步显然的操作。

赛后看完题，第一个想法是区间离散化之后，点 xxx 维护一个 sum[x]sum[x]sum[x]，表示 111 ～ xxx 中一共有多少个数。每次区间操作 [L,R][L,R][L,R]，对于大于等于 RRR 的所有节点，sum=sum+R−L+1sum=sum+R-L+1sum=sum+R−L+1。对于区间 [L,R][L,R][L,R] 之间的数字，sum[x]=sum[x]+x−L+1sum[x]=sum[x]+x-L+1sum[x]=sum[x]+x−L+1，因此先区间加上 −L+1-L+1−L+1，再让区间中第 xxx 个点加上 xxx，即一共有两种加法操作，也需要维护两个加法 lazylazylazy。

之后看了一些其它的题解，发现并不需要这么麻烦，可以将操作进行简化。

首先对于区间 [L,R][L,R][L,R]，将 R=R+1R=R+1R=R+1 进行离散化，线段树中每个节点维护一个 sum[x]sum[x]sum[x] 表示有多少个数在 [sum[x],sum[x+1])[sum[x],sum[x+1])[sum[x],sum[x+1]) 这个区间中，注意右端点为开区间。

例如区间操作 [1,8][1,8][1,8]，右端点 +1+1+1 为 [1,9][1,9][1,9]，离散化之后 sum[1]=9−1=8,sum[9]=0sum[1]=9-1=8,sum[9]=0sum[1]=9−1=8,sum[9]=0。可以发现将右端点 +1+1+1 的目的就是为了避免算个数时 +1+1+1 等操作，简化一些细节，降低出错率。

因此对于一个区间操作，只需另该区间中涉及的每一个端点（即其它区间离散化后的端点）加上当前端点到后一个端点之间数的个数即可，具体可以看看代码，也可以自己根据节点意义来进行推演，不要力图看懂每一个细节，应该追求点到为止，其余部分让自己来思考。

总结：

这道权值线段树的问题，主要关键在于你如何定义线段树节点代表的意义。如果按我一开始的想法去定义的话，必然会涉及到维护两种不同的 lazylazylazy，而按照后一种想法去定义，则只需要维护一个信息。

此处两种定义方法主要区别在于，第一种在每个节点处维护的是前面所有节点的信息，而第二种只维护当前节点和后一个节点之间的信息，因此大大降低了复杂程度。

这有一定程度上启发了我们，定义线段树节点状态时，不要妄图维护所有的信息，只需要维护单个节点或者与前后节点之间的信息即可，切忌维护过多。毕竟维护过多就代表信息发生了重叠，而重叠部分即为无用功。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG3(x1,x2,y1,y2,z1,z2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const db EPS = 1e-9;
const int N = 4*1e5+100;
using namespace std;int n,tot;
ll a1,b1,c1,m1;
ll a2,b2,c2,m2;
ll b[2*N],X[N],Y[N],L[N],R[N],sum[4*N],lazy[4*N],c[2*N]; //c[N]:维护前缀和int find(ll x){return lower_bound(b+1,b+1+tot,x)-b;
}inline int get_id(int l,int r) {return (l+r)|(l!=r);}void push_down(int l,int r){int mid = (l+r)>>1;int now = get_id(l,r), ls = get_id(l,mid), rs = get_id(mid+1,r);sum[ls] += lazy[now]*(c[mid]-c[l-1]); sum[rs] += lazy[now]*(c[r]-c[mid]);lazy[ls] += lazy[now]; lazy[rs] += lazy[now];lazy[now] = 0;
}void update(int l,int r,int lp,int rp){int now = get_id(l,r);if(lp <= l && r <= rp){sum[now] += c[r]-c[l-1];lazy[now]++;return;}if(lazy[now]) push_down(l,r);int mid = (l+r)>>1;if(lp <= mid) update(l,mid,lp,rp);if(rp > mid) update(mid+1,r,lp,rp);sum[now] = sum[get_id(l,mid)]+sum[get_id(mid+1,r)];
}ll query(int l,int r,ll num){int now = get_id(l,r);if(l == r){ll len = b[r+1]-b[r];ll hp = sum[now];ll cnt = hp/len; //每个点有几个return (b[l]+(num-1)/cnt);}if(lazy[now]) push_down(l,r);int mid = (l+r)>>1;if(sum[get_id(l,mid)] < num) return query(mid+1,r,num-sum[get_id(l,mid)]);else return query(l,mid,num);
}int main()
{scanf("%d",&n);scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&X[1],&X[2],&a1,&b1,&c1,&m1);scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&Y[1],&Y[2],&a2,&b2,&c2,&m2);rep(i,1,n){if(i >= 3){X[i] = (a1*X[i-1]+b1*X[i-2]+c1)%m1;Y[i] = (a2*Y[i-1]+b2*Y[i-2]+c2)%m2;}L[i] = min(X[i],Y[i])+1ll;R[i] = max(X[i],Y[i])+1ll;b[++tot] = L[i]; b[++tot] = R[i]+1;}sort(b+1,b+1+tot);tot = unique(b+1,b+1+tot)-b-1;rep(i,1,n){L[i] = find(L[i]); R[i] = find(R[i]+1);R[i]--;}rep(i,1,tot-1) c[i] = b[i+1]-b[i]+c[i-1];ll total = 0;rep(i,1,n){   update(1,tot,L[i],R[i]);total += b[R[i]+1]-b[L[i]];ll num = (total+1ll)/2ll;printf("%lld\n",query(1,tot,num));}return 0;
}
/*
题意：每个给出一个区间，在序列中添加上这个区间的所有数，每次插入时询问中位数
*/

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