小钟第一次写博客，希望把读研期间学习的结构光三维重建的知识还有实验记录下来，并且分享出去，一是希望能帮助跟我研一的时候一样的小伙伴，当时痛苦地读大量文献，从仿真到实验，一个人在奋斗捣鼓，迷茫的时候超级渴望有人能跟我讨论分享，我痛苦的时候没有人能和我讨论，但希望通过这篇文章能帮助到未来跟我一样的小伙伴。二是万一我毕业工作不从事相关的工作，不希望我白看那么多文献，白学了这些东西，记录下来留个念想也好。第一次写，文笔拙劣，有错漏之处忘同行批评指正。不啰嗦了。

结构光三维重建

三维重建的运用越来越广泛，结构光三维重建是其中一种热门的、精度高、速度快且无接触式的技术。

结构光中，正弦条纹结构光是被广泛运用的一种，只需要一个投影仪一个摄像头就可以搭建正弦条纹结构光系统。一般，利用投影仪将正弦条纹投影到被测物体上，利用摄像头拍摄被物体高度所调制的变形条纹图样，得到变形条纹图样后，非常重要的一步就是从条纹中获取相位信息，一般有傅里叶变换轮廓术（FTP），相位测量轮廓术（PMP）这两种，前者的原理会在本文详述，而这一技术也引申出了窗口傅里叶、小波变换等方法来提取相位；后者其实就是相移方法，或许有小伙伴听说过的三步相移、四步相移，其实就是PMP，我会找时间再写一篇博客来介绍。在得到相位信息后，由于相位是通过反正切（atan2）求出来的，所以会被截断在[-π,π]或者说是[0,2π]之间，因此另一个关键且重要的一步就是相位解包裹，这里不详细介绍了。最后建立相位——高度映射就可以求出物体的三维形貌。

傅里叶变换轮廓术Fourier Transform Profilometry

为了方便，以下简称FTP。FTP是在1983年有日本的Takeda和Mutoh提出来的，后来也被广泛地运用，例如四川大学的苏显渝教授的组，就有相当多FTP的研究的文章。

如下图，当左边的正弦条纹打在中上的一个平面上的时候，条纹（右上）是不会发生形变的，但当打在了一个有高度变化的物体上时，条纹就会被物体的高度调整而发生形变。而条纹的形变可以理解为相位的变化，那么只要得到相位，就可以知道物体的三维形貌了。（由于用的是我组内pre的ppt，所以很多图内都是英文注释的，见谅）

FTP主要步骤

FTP实际上就是从变形的条纹图样中获取条纹的相位的一种方法。主要的步骤如下：

接下来我会从把物理推导推一遍，不过整体的步骤就是上面的图这样的，实在看不下去也可以考虑跳过，不过认清了整个物理过程，对于理解FTP是非常有帮助的。

物理推导

对于条纹图样，可以写成光强的函数 $I\left (x, \right y)$ 的形式，也可以写成泰勒展开后的形式 $g\left ( x, \right y)$ ，这里需要留意的是他们的相位 $%uD835%uDF11$ $\varphi \left ( x, \right y)$ ，FTP的最终目的就是要得到 $\varphi \left ( x, \right y)$ 。

对 $I\left (x, \right y)$ 或者 $g\left ( x, \right y)$ 做x方向上的1D傅里叶变换（实际操作中实际是做二维傅里叶变换），在得到设计相应滤波器，将其中一个基频分量滤出（如下图中的Spectrum，频谱中有对称的基频分量，因为是一样的，所以只需要其中一半就可以了）。

滤出基频分量后做傅里叶逆变换，就可以得到右边的式子，这式子中只含有基频 $f_{0}$ 。

刚刚提到要提取相位 $\varphi \left ( x, \right y)$ ，因此对 $\widehat{g_{0}}}$ 取共轭，然后将他们相乘，对相乘后的式子取复对数就可以提取出相位了，相位在式子的虚部中。当然，在实际操作中，相乘和取对数的操作都是不需要的。

得到相位之后，因为通过反正切来求相位，因此相位会截断在[-π,π]或者是[0,2π]之间，因此需要通过相位解包裹来得到连续相位，解包裹算法众多，这里就不详细展开了，有机会再写吧。

根据系统和被测物体的几何关系，可以得到相位和高度的映射关系，最后就可以求出物体的高度信息了。

仿真与实验结果

以下是我仿真的结果，物体使用matlab中的peak函数模拟的。

此外我也做了一个人脸的三维重建，其中解包裹是用质量图导向法（quality guide）来实现的。（脸是实验室的孟同学的友情客串，千万别笑人家！）这是快1年前做的结果，当时没有继续抓精度，和现在做的结果还是有差距的。

部分参考文献

[1]Mitsuo Takeda, Kazuhiro Mutoh.Fourier transform profilometry for the automatic measurement of 3-D object shapes[J].Applied Optics,1983,Vol.22: 3977-3982

[2] 毛先富,陈文静,苏显渝.傅里叶变换轮廓术新理论研究[J].中国激光杂志,2007,(1): 99-104

[3] 毛先富,苏显渝,陈文静,荆海龙.改进傅里叶变换轮廓术的测量算法研究[J].光学学报,2008,(7): 1291-1295

[4] 毛先富,陈文静,苏显渝,边心田.傅里叶变换轮廓术中新的相位及高度算法分析[J].光学学报,2007,(2): 225-229

[5] 苏显渝,谭松新,向立群,李继陶,羡涛.基于傅里叶变换轮廓术方法的复杂物体三维面形测量[J].光学学报,1998,第18卷(9): 77-82

以上就是我对FTP的一些小见解，如有错误，敬请各位大神指正。当然实际操作中有些细节我没往里面写，如果有兴趣也欢迎大家和我讨论。

本文用到的图都是我个人总结归纳和实验得到的，请不要私自拿去用了，谢谢！

傅里叶变换轮廓术Fourier Transform Profilometry（FTP）相关推荐

相位测量轮廓术Phase Measurement Profilometry（PMP）+相移方法Phase Shifting Method
之前写了傅里叶变换轮廓术FTP三维重建的方法,那接下来就简单写一下相位测量轮廓术PMP,下面也都直接简称为PMP. 因为PMP用的是相移方法(phase shifting method),所以有很多文 ...
基于CUDA的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）
最近在做地震勘探的全波形反演,用分频反演的方法,需要对地震波场按照特定的频段进行傅里叶变换,这要用到DFT.在CPU上,DFT的计算非常耗时,当处理三维数据时耗时更加严重,所以,本人用CUDA+SU( ...
PMP相位测量轮廓术基本原理介绍
背景介绍结构光测量技术包括线结构光和面结构光测量,其中,面结构光又包括相位测量轮廓术PMP(phase measurement profilometry),又称为相移测量轮廓术PSP(phase s ...
量子计算Quantum Fourier Transform (QFT)算法
量子傅里叶变换(Quantum Fourier Transform,QFT)是量子计算中一个重要的基础算法,可以将一个量子态转换为其在频域的表示.QFT算法在量子计算中有着广泛的应用,例如在Shor算 ...
Python+OpenCV：傅里叶变换(Fourier Transform)
Python+OpenCV:傅里叶变换(Fourier Transform) ############################################################# ...
短时傅里叶变换原理及其MATLAB实现（Short Time Fourier Transform，STFT）
短时傅里叶变换原理及其MATLAB实现(Short Time Fourier Transform,STFT) 1.短时Fourier变换原理(STFT原理) 信号x(t)短时Fourier变换定义为: ...
【OI向】快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)
[OI向]快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 转存于本人博客园地址 FFT的作用在学习一项算法之前,我们总该关心这个算法究竟是为了干什么. (以下应用只针对OI ...
详解双频光栅图案的轮廓法（PMP和FTP）
双频光栅图案测量3D轮廓,即通过投影仪投射双频光栅图像到物体上进行测量. 这里双频测量轮廓法总结了两类:双频光栅的相位测量轮廓法和双频光栅的快速傅里叶变换轮廓法.这两种方法也叫做光学相位测量法,是通过 ...
FT(Fourier Transform)在滤波上的应用
数学真的是一个神奇的科学,美妙之处无法言语形容. 傅里叶变换的推导见博客: 对于非周期的函数就是周期T趋于0,将一般非周期的函数写作傅里叶级数的形式: 其中:就是FT(Fourier Transfor ...

傅里叶变换轮廓术Fourier Transform Profilometry（FTP）