详解双频光栅图案的轮廓法（PMP和FTP）

双频光栅图案测量3D轮廓，即通过投影仪投射双频光栅图像到物体上进行测量。

这里双频测量轮廓法总结了两类：双频光栅的相位测量轮廓法和双频光栅的快速傅里叶变换轮廓法。这两种方法也叫做光学相位测量法，是通过面结构光来实现，不需要对物体进行扫描操作。

1，双频光栅的快速傅立叶变换轮廓术（FTP）

从一帧条纹图中获取同一物体对应于不同等效波长的两组截断相位，先展开对应于低频的低精度截断相位，并以此为参考，根据双频光栅两个频率之间的关系，展开对应于高频的高精度相位。

这种方法只需要一张或者两张就可以求得物面的表面轮廓信息。

左图为整个测量流程图，右图为光路图。

右图中所满足的条件有两个：1，P2和I2在同一水平线上；2，成像装置的光轴是与参考平面垂直的。这个条件主要是针对上图的说明，如果成像系统不是垂直于参考平面时是否仍然是下面推导过程呢？答案为是的，为什么？

由右图推导可得高度h的过程如下：

最后推导出来的h的解与C,D的相位值有关，下面进行相位求解，求解方法为傅里叶变换，求解推导过程为：

（这里是傅里叶变换求解相位的简化过程，具体详细推导过程会在后续博客给出）

这里有一个问题，那就是，这里需要用到两次成像系统获取的图像，其中对于参考平面所在的相位图只需求一次即可，可以提前测量获得，后面的物体表面轮廓测量只需一张即可。

上面用的到一个频率，只是单频率，下面介绍双频率傅里叶变换相位轮廓测量法:

先思考一个问题：那就是上面解出相位后少了一步什么呢？

少了相位解包裹！为什么不讲呢，因为这里是有问题的，通过反三角函数(反正切)计算相位，相位被限制在-pi到pi的范围内，必须将此截断的相位恢复成连续相位，在展开的方向上比较截断相位图中相邻两个点的相位值，如果差值小于-pi，则后一点的相位值应该加上2pi：如果差值大于pi，则后一点的相位应该减去2pi。当物体表面存在两个相邻抽样点的非截断相位变化大于pi时，采用上面的方法无法恢复物体面形，所以需要用到双频。

双频的求解过程如下（具体推导过程后面介绍）：

相位解包裹为

先获得相位的截断级数n1，获得连续的相位，但是精度较低，然后将两个频率结合起来，根据双频光栅两个频率之间的关
系，计算出高频截断相位图中包含的截断级次n2，就可以完成高频截断相位图的相位展开。

2，双频光栅的相位测量轮廓法

相位测量轮廓法PMP的光路图和高度h的推导与上述FTP的方法一样，下面着重介绍双频的相位测量轮廓法的原理：

双频的相位测量轮廓法中的双频并不是两个频率分别对应的条纹图案，而是两个频率共同所生成的条纹图案，表达式如下：

fh为高频PMP图像，主要用来减小噪声的影响；fu为单位频率的PMP图像，主要用来最小化相位展开的计算开支。

相机所捕获的图像集表达式如下：

最后所得到的相位值为：

$\phi _{h}$ 表示捕获图像包裹的相位值， $\phi _{u}$ 表示用来解相位的基相。

这里需要说明的是这种测量方法并不是单帧图像测量法，因为需要相移，所以需要多次移相获得不同相位的投射图像，才能根据相移法求得最后的相位值。