相位测量轮廓术Phase Measurement Profilometry（PMP）+相移方法Phase Shifting Method

之前写了傅里叶变换轮廓术FTP三维重建的方法，那接下来就简单写一下相位测量轮廓术PMP，下面也都直接简称为PMP。

因为PMP用的是相移方法（phase shifting method），所以有很多文章会写用的是相移方法，而没有说用的是PMP，按我的理解，实际上，两者是一样的。

FTP和PMP

根据我看的文献，PMP方法应该是1984年由Srinivasan等人提出的。FTP是利用傅里叶变换来提取相位，而PMP是利用相移的方法来获取相位。

FTP和PMP各有优点，可以根据实际测量的场合选用，下面简单列举一下两种方法的优缺点

FTP：

优点：只需要一帧条纹图像，就可以得到一张相位图，速度快

缺点：由于傅里叶变换是全局的分析方法，一旦遇到被测物体表面剧烈变化或者断裂的情况，就没有办法提取正确的相位了。对此也有提出用加窗傅里叶变换来加强局部分析能力（南洋理工的Kemao Qiao教授有相当多的相关研究的文章，有兴趣可以读一读）。

另外，FTP需要提取基频分量，但出现频谱混叠（overlapping）的情况，同样不能正确提取相位，对应的解决方法是将滤波的矩形窗改成汉明窗等窗函数，也有文章提出modified FTP，其实也是设计更合适的滤波器来减少频谱混叠的影响。

PMP：

优点：FTP的缺点，PMP应该可以完美解决，精度高，可测量的高度范围更大，不受被物体表面剧烈变化或断裂影响，也不受物体表面反射率不同的影响。

缺点：由于使用相移方法，所以需要两帧或以上条纹图像来获取一张相位图。不过可以从硬件上克服这一不足，高速投影仪同步摄像机就可以了（有钱真的可以为所欲为）

PMP原理及推导

前面已经提及，PMP和FTP的目的是一样的，就是为了提取相位

LaTeX的公式编辑我真的不会啊嘤嘤嘤，所以我直接截图我的组内汇报的ppt了

如下图，摄像机得到的一张条纹图像可以用 $I_{n}$ 来表示，下标n是指第几幅条纹图像。其中A可以认为是环境光强，B是条纹投影上去后的调制光强， $\phi \left ( x,y \right )$ 是条纹的相位，最后的 $\phi '$ 就是相移。

PMP的相移要求n张条纹图像的总相移是 $2\pi$ ，也就是说，每张图片的相移量为 $\phi '=\frac{2\pi }{n}$

举个栗子，三步相移每张图片相移量为 $\phi '=\frac{2\pi }{3}$ ，而四步相移每张图片相移量为 $\phi '=\frac{pi }{2}$

最终目的要提取相位，就是要得到 $\phi \left ( x,y \right )$ ，可以通过上图右边的公式来获取，这个公式的实质是

$\phi \left ( x,y \right )=arctan\frac{sin\left [ \phi \left ( x,y \right )\right ]}{cos\left [ \phi \left ( x,y \right )\right ]}$

实际上那一堆求和的目的就是把 $sin\left [ \phi \left ( x,y \right )\right ]$ 和 $cos\left [ \phi \left ( x,y \right )\right ]$ 给凑出来

采用PMP方法的，我看的文献比较多的是三步相移和四步相移，因此如果不太理解上面求相位的公式，可以亲手推一推三步相移和四步相移的公式就会明白了，特别是四步相移，一看就懂的。我之所以理解，就是因为我去算了一遍

三步相移

三步相移的三张条纹图像的表达式如下图左边，每次相移 $\frac{2\pi }{3}$ 。

其中相位公式可能和上面提到的不太一样，但实际上还是在凑 $sin\left [ \phi \left ( x,y \right )\right ]$ 和 $cos\left [ \phi \left ( x,y \right )\right ]$

纹理（texture）可以认为是环境的光强，也就是被测物体的反射光，可以用A来表示

背景，也就是调制度（modulation），也就是B，这一个式子可以通过阈值化得到一个mask，用来去除背景

投影到被测物体上

求出来的相位图，OpenCV显示，将就看看吧

四步相移

四步相移的四张条纹图像的表达式如下图左边，每次相移 $\frac{\pi }{2}$ 。

从四步相移的公式就很明显看到是相位是在凑出 $sin\left [ \phi \left ( x,y \right )\right ]$ 和 $cos\left [ \phi \left ( x,y \right )\right ]$

投影到被测物体上是酱紫滴

最后求得的相位图，OpenCV显示

部分参考文献：

[1]V. Srinivasan;H. C. Liu and M. Halioua.Automated phase-measuring profilometry of 3-D diffuse objects[J].Applied Optics,1984,Vol.23: 3105-3108

[2]Zhang, Song.Recent progresses on real-time 3D shape measurement using digital fringe projection techniques[J].Optics and Lasers in Engineering,2010,Vol.48(2): 149-158

[3]李中伟.基于数字光栅投影的结构光三维测量技术与系统研究[D].华中科技大学,2009

[4]苏显渝，张启灿，陈文静.结构光三维成像技术[J].中国激光,2014,第41卷(2): 1-10